什麼是 3×3 反矩陣計算器？
這個工具可計算任意 3×3 實數矩陣的反矩陣 A^{-1}。所謂反矩陣（逆矩陣），是唯一滿足 A· A^{-1} = A^{-1}· A = I 的矩陣，其中 I 為 3×3 單位矩陣。只有當矩陣 A 的行列式不等於 0 時，反矩陣才存在；否則該矩陣便稱為奇異矩陣（singular matrix），不具反矩陣。
使用方法
請依序（逐列）輸入矩陣的九個元素。標籤 a11～a33 代表第 i 列、第 j 行的位置。請直接輸入十進位數值（不支援像 1/3 這類分數寫法）。你也可以自訂顯示結果的有效位數。按下計算後，即可看到反矩陣與行列式的數值。
計算公式
對於 A = [[a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]]，行列式為
\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
反矩陣則等於餘因子矩陣的轉置（即伴隨矩陣 adjugate）除以行列式： b_{ij} = ((C_{ji}) ÷ (\det A))
實例演算
以 A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] 為例。
\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1
其反矩陣為 A^{-1} = [[-24,18,5],[20,-15,-4],[-5,4,1]]
你可以自行驗證 A· A^{-1} = I。
關鍵術語與定義
- 行列式
- 從方陣項目計算出的單一純量 \det A。對於 3×3 矩陣，可以通過餘因子展開求得。它告訴您矩陣是否可逆：A^{-1} 存在當且僅當 \det A ≠ 0。
- 子式
- 子式 M_{ij} 是刪除第 i 行和第 j 列後剩餘較小矩陣的行列式。對於 3×3 矩陣，每個子式都是 2×2 行列式。
- 餘因子
- 帶符號的子式：C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}。餘因子是行列式和伴隨矩陣的建構基塊。
- 伴隨矩陣（伴隨）
- 餘因子矩陣的轉置，記作 adj(A)。逆矩陣公式為 A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}adj(A)。（在線性代數中，這種「伴隨」不同於複矩陣中使用的共軛轉置伴隨。）
- 單位矩陣
- 主對角線上全為 1、其他位置全為 0 的方陣 I。它充當乘法單位元：AI=IA=A，根據定義 A A^{-1}=A^{-1}A=I。
- 奇異矩陣
- 行列式為零的方陣。奇異矩陣沒有逆矩陣，因為除以 \det A=0 是未定義的。
- 轉置
- 通過互換行和列得到的矩陣 A^{\mathsf T}，所以項目 (i,j) 變為項目 (j,i)。對餘因子矩陣進行轉置可得伴隨矩陣。
- 符號 / 棋盤式排列
- 應用於子式的 (-1)^{i+j} 符號排列，交替呈棋盤式：\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}。它將每個子式轉換為正確的餘因子。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
如果行列式等於 0 怎麼辦？
此時矩陣為奇異矩陣，反矩陣不存在；計算器會直接顯示明確提示訊息。
為什麼算出來的數值非常龐大？
當行列式非常接近 0 時，矩陣屬於近似奇異（near-singular），其反矩陣在數值上極不穩定，因而產生非常大的元素值。
單位矩陣的反矩陣是它自己嗎？
是的，單位矩陣的反矩陣仍是單位矩陣本身。