🔢 4X4 Matrix Determinant 計算機

行列式是一個能濃縮方陣重要性質的純量值。對於 4×4 矩陣 A 來說，行列式可以告訴你這個矩陣是否可逆（行列式不為零）或為奇異矩陣（行列式等於零），同時它也代表線性變換 A 對四維體積的「帶正負號的縮放倍率」。本計算機採用精確的餘因子展開法，為任意 4×4 矩陣計算出 \det(A)。

請將矩陣的 16 個元素全部填入格子中，其中 a_{ij} 位於第 i 列、第 j 行。可輸入小數與負數。按下計算後，工具會回傳行列式的值，並判斷該矩陣是否可逆。

我們沿第一列進行拉普拉斯（餘因子）展開：

其中每個 M_{1j} 是刪除第 1 列與第 j 行後所形成之 3×3 子矩陣的行列式。各項符號依 (-1)^{1+j} 交替變化（+、−、+、−）。每個 3×3 子式又會進一步展開成 2×2 的行列式，最終得出精確結果。

以單位矩陣為例（對角線為 1，其餘為 0），所有非對角線的乘積都會相互抵消，因此 \det = 1×1×1×1 = 1。再以對角線元素為 2、3、4、5 的對角矩陣為例，其行列式就是對角線元素的乘積：

4×4 矩陣 A 的行列式是一個單一標量，它編碼線性變換 x\mapsto Ax 如何改變四維空間的形狀。請按以下方式讀取您的結果。

符號 — 方向

正行列式表示變換保持坐標系的方向（手性），負行列式表示方向被反轉（涉及反射）。符號本身不會告訴您空間被拉伸了多少 — 只會告訴您基是否被翻轉。

絕對值 — 4D 體積縮放

絕對值 |\det(A)| 是變換縮放四維（超）體積的因子。體積為 1 的單位超立方體被映射到體積為 |\det(A)| 的平行體。例如，|\det(A)|=20 表示超體積被放大 20 倍，而 |\det|=0.5 表示體積被縮小一半。

det = 0 — 奇異且不可逆

當 \det(A)=0 時，矩陣將 4D 空間塌縮到低維子空間（3D 或更薄的「平面」），破壞體積。這樣的矩陣是奇異的：它沒有逆矩陣，線性方程組 Ax=b 沒有唯一解，至少一行（和一列）是其他行（列）的線性組合。

與逆矩陣和線性獨立的關係

矩陣可逆當且僅當 \det(A)≠ 0。當行列式非零時，逆矩陣的行列式滿足 \det(A^{-1})=1/\det(A)，因此小的 |\det| 表示逆矩陣幾乎是奇異的，數值上不穩定。非零行列式也恰好是四行（等價地，四列）線性獨立且跨越完整四維空間的條件。

行列式

與方陣相關聯的標量值 \det(A)，測量對應線性映射的有符號體積縮放因子，並指示矩陣是否可逆。

子式

通過從原始矩陣中刪除第 i 行和第 j 列得到的較小（此處為 3×3）矩陣的行列式 M_{ij}。

餘子式

有符號的子式，C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}。交替的 (-1)^{i+j} 符號產生在展開式中使用的棋盤圖案 + - + -。

拉普拉斯（餘子式）展開

通過沿選定行或列展開來計算行列式的方法：\det(A)=\sum_{j} a_{ij}C_{ij}。對於 4×4 矩陣，這將問題簡化為四個 3×3 行列式。

奇異矩陣

行列式為零的方陣；它沒有逆矩陣，且其行（和列）是線性相關的。

可逆（非奇異）矩陣

行列式 \det(A)≠ 0 的方陣，對其存在唯一逆矩陣 A^{-1} 滿足 AA^{-1}=I。

子矩陣

通過選擇較大矩陣的行和列的子集形成的任何矩陣；刪除一行一列產生的子矩陣的行列式是子式。

標量

單一數字（相對於向量或矩陣）；矩陣的行列式始終是標量。