什麼是矩陣的伴隨（埃爾米特共軛）？
伴隨矩陣記為 A^{*}、A^{\dagger}（dagger）或 A^{\mathsf{H}}，是矩陣 A 的共軛轉置。它的求法分兩步：先把 A 轉置（行列互換），再把每個元素換成它的複共軛（實部保留、虛部變號）。若 A 為 m × n，則 A^{*} 為 n × m。要注意這裡指的是線性代數與量子力學中所用的埃爾米特共軛（Hermitian conjugate），而非用於求反矩陣的「伴隨矩陣」（adjugate，又稱古典伴隨，即餘因子矩陣的轉置）——兩者中文都常譯作「伴隨」，但意義不同，請勿混淆。
計算機使用說明
輸入矩陣時，每一列佔一行，同一列的元素以逗號或空格分隔。實數元素直接寫成 3 或 -2.5 即可。複數元素採用 a+bi 的格式：例如 2+3i、-1-2i、4i，或只寫 -i。請依資料設定列數與行數，再選擇顯示位數，工具便會回傳維度對調後的 A^{*}。
公式解析
把每個元素寫成 a_{kl} = x_{kl} + i y_{kl}。伴隨矩陣 B = A^{*} 的元素為
下標的位置對調代表「轉置」，y 的符號反轉則代表「共軛」。整體可寫成
當所有 y_{ij}=0 時，則 A^{*} = A^{\mathsf{T}}。
範例演算
以 2 × 3 矩陣 A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix} 為例。轉置後變成 3 × 2 的排列，再對每個元素取共軛，得到
因此 2+3i 變成 2-3i、-i 變成 +i，而實數 5 維持不變。
伴隨矩陣（共軛轉置）的性質
矩陣的伴隨矩陣（Hermitian 共軛）透過轉置後再取每個元素的複共軛得到：≤ft(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}。記號 A^{*}、A^{H} 和 A^{\dagger} 都表示同一種運算。下面的恆等式對任何大小相容的複矩陣（以及任何複數標量 c）都成立。
| 性質 | 恆等式 | 說明 |
|---|---|---|
| 迴旋性 | (A^{*})^{*} = A | 將伴隨運算應用兩次會回到原矩陣。 |
| 可加性 | (A+B)^{*} = A^{*} + B^{*} | 要求 A 和 B 大小相同。 |
| 共軛齊次性 | (cA)^{*} = \overline{c} A^{*} | 標量取出時被共軛，例如 (iA)^{*} = -iA^{*}。 |
| 反向乘積 | (AB)^{*} = B^{*}A^{*} | 因子順序被反轉（反同態）。 |
| 逆矩陣 | (A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*} | 當 A 可逆時成立；伴隨和逆矩陣可交換。 |
| 行列式 | \det(A^{*}) = \overline{\det(A)} | 僅適用於方陣 A；行列式被共軛。 |
由於共軛不改變實數，當所有元素都是實數時，上面的每個恆等式都簡化為其實矩陣對應版本（其中 A^{*}=A^{\mathsf{T}}）。
關鍵詞彙
- 共軛轉置 / 伴隨矩陣 A^{*}
- 透過轉置 A 並共軛每個元素得到的矩陣：(A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}。也稱為 Hermitian 共軛或 Hermitian 伴隨。
- 複共軛
- 對於 z = a + bi，共軛為 \overline{z} = a - bi：虛部的符號被翻轉，而實部保持不變。
- 轉置 A^{\mathsf{T}}
- 沿著主對角線的反射，交換行與列：(A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}。不進行共軛。
- Hermitian 矩陣
- 等於其自身伴隨的方陣，A^{*} = A。其對角線元素是實數，其特徵值是實數。
- 反 Hermitian 矩陣
- 滿足 A^{*} = -A 的方陣。其對角線元素是純虛數（或零），其特徵值是純虛數。
- 么正矩陣
- 其伴隨矩陣為其逆矩陣的方陣，A^{*}A = AA^{*} = I。么正矩陣保持複內積，且其特徵值的模為 1。
- 伴隨矩陣（古典伴隨）
- 儘管名稱相似，但概念不同：余因子矩陣的轉置，用於 A^{-1} = ((1) ÷ (\det A)) adj(A)。它與共軛轉置 A^{*} 無關。
- 匕首記號 A^{\dagger}
- 物理學中（尤其是量子力學）常用的共軛轉置符號；A^{\dagger}、A^{H} 和 A^{*} 都表示同一運算。
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