📐 面積三角形 coordinates 計算機

當你已知三角形三個頂點在直角座標平面上的位置時，這個工具就能直接幫你算出面積。你不必另外量底邊和高，只要把每個頂點以 (x, y) 的形式輸入，計算機就會套用鞋帶公式（Shoelace formula），回傳以平方單位表示的精確面積。

依序輸入三個頂點的座標：(x_1, y_1)、(x_2, y_2) 與 (x_3, y_3)，按下計算即可看到面積。結果還會一併顯示有號面積，用來判斷頂點的排列方向：正值代表三點以逆時針排列，負值代表順時針，若為零則表示三點共線，構成退化三角形，沒有面積。

鞋帶公式（又稱高斯面積公式）的計算方式，是把座標以交叉相乘的方式配對，就像綁鞋帶一樣交錯穿插：

每一項都是把一個頂點的 x 值，乘上相鄰兩頂點 y 值的差。把這些項加總後再除以二，得到的是有號面積的兩倍；取絕對值後，就能得到不受頂點排列順序影響的幾何面積。

以一個直角三角形為例，三個頂點為 A(0, 0)、B(4, 0) 與 C(0, 3)。代入公式：

每個例子都使用鞋帶公式 面積 = ((1) ÷ (2))≤ft| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|。絕對值符號內的表達式（取絕對值前）是有向面積；其符號告訴你頂點的方向性。

例子 1 — 負坐標

頂點 A(-4,-2)、B(1,-3)、C(-1,4)，按逆時針方向列出。

面積是 16.5 平方單位。因為有向值 +33/2 是正數，所以頂點按逆時針方向排列。

例子 2 — 十進制坐標

頂點 A(1.5, 2.0)、B(4.5, 3.5)、C(2.0, 6.0)。

面積是 5.625 平方單位。

例子 3 — 順時針順序（負有向面積）

取一個頂點恰好按順時針方向列出的三角形：A(0,0)、B(0,4)、C(6,0)。

有向面積是 -12，負號確認頂點按順時針方向排列。取絕對值得到幾何面積，12 平方單位。由於這是一個直角三角形，兩條直角邊分別為 6 和 4，相同的答案來自 \tfrac12 bh = \tfrac12(6)(4) = 12。

1. 按順序列出頂點。將三個點寫成 (x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3)，沿著三角形的一個一致方向（順時針或逆時針）。起點不重要，但順序很重要。
2. 代入鞋帶項。形成三個乘積 x_1(y_2-y_3)、x_2(y_3-y_1) 和 x_3(y_1-y_2)。先計算每個括號（兩個 y 值的差），然後乘以對應的 x。
3. 求和叉積。將三項相加，保留所有符號：
   S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)。
4. 減半得到有向面積。計算 \dfrac{S}{2}。這個數字可以是正的或負的 — 它是有向（定向）面積。
5. 取絕對值得到幾何面積。三角形的實際面積是 ≤ft|\dfrac{S}{2}\right|，總是一個非負的數字，用平方單位表示。

符號解釋：正的有向面積意味著頂點按逆時針方向列出；負的有向面積意味著它們按順時針方向列出。如果 S = 0，三個點共線，"三角形"是退化的（面積為零）。幾何面積與順序無關 — 只有絕對值前的符號會改變。

頂點

三角形的一個角點。三角形有三個頂點，每個都在這裡以 (x,y) 坐標對給出。

笛卡兒坐標對

一個有序對 (x,y) 定位平面上的一個點，其中 x 是水平距離，y 是從原點 (0,0) 的豎直距離。

有向（定向）面積

鞋帶公式中的值 \tfrac12 S 在取絕對值之前。它的大小是面積；它的符號編碼頂點列出的方向。

方向性（順時針 / 逆時針）

列出的頂點的旋轉方向。逆時針（逆時針）給出正的有向面積；順時針（順時針）給出負的有向面積。

共線

三個或更多點位於單一直線上。共線頂點產生鞋帶和為零。

退化三角形

一個"三角形"，其三個頂點共線，因此塌陷成線段，面積為零。

平方單位

面積的單位，等於坐標的單位平方（例如，如果坐標以米為單位，面積以平方米 m^2 為單位）。