什麼是算術幾何平均數？
算術幾何平均數通常寫作 AGM(a, b)，是高斯（Gauss）研究過的著名數學構造。給定兩個非負數 a 與 b，我們反覆地把這對數字換成它們的算術平均與幾何平均。這樣產生的兩個新數列會逐步逼近同一個共同值——這個共同極限就是 AGM。這是純粹的數學運算，在任何地方的結果都完全相同；輸入值是沒有單位的無因次數字。
計算器使用方式
請分別輸入 a 與 b 的值（兩者都必須為零或正數）。最大迴圈次數 n 用來限制迭代次數——預設值 100 遠超過實際所需，因為在雙精度浮點數下通常 5 到 6 步就能收斂。計算器會回傳 AGM(a, b)，並顯示兩個數列在運算精度下達到一致前，實際執行的迭代次數。
公式解析
令 a_0 = a、b_0 = b，接著反覆計算：
由於算術平均永遠大於或等於幾何平均，因此 a 數列會逐漸下降、b 數列會逐漸上升，把極限值夾在兩者之間。它的收斂速度是二次的——每一步正確的位數大約會翻倍。
實例演算：AGM(24, 6)
a_0 = 24、b_0 = 6。第 1 步：
常見問答
如果 a 等於 b 會怎樣？此時數列維持不變，所以 AGM(a, a) = a 立即成立，例如 AGM(5, 5) = 5。
如果其中一個值是 0 呢？幾何平均會變成 √(0) = 0 並一直維持 0，因此 AGM(a, 0) = AGM(0, b) = 0。
可以使用負數嗎？不行。負數的乘積會讓平方根在實數範圍內無定義，所以本工具要求 a ≥ 0 且 b ≥ 0。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。