🧮 Arithmetic Sequence Sum From Terms 計算機

等差數列是一串數字，其中每一項都比前一項固定增加（或減少）一個量，這個量稱為「公差」，以 d 表示。從首項 a_1 開始，後面每一項都再加上 d。這個計算機只要輸入三個數值，就能立即幫你求出第 n 項（a_n）以及前 n 項的總和（S_n）。

輸入首項 a_1、公差 d（遞增數列填正數，遞減數列填負數），以及你想求的項數位置 n。按下計算，就能看到第 n 項 a_n 的數值，以及從 a_1 到 a_n 所有項相加的累計總和 S_n。

第 n 項的公式為

假設 a_1 = 2、d = 3、n = 10。第 10 項為

等差數列的兩個主要輸出為第n項 a_n = a_1 + (n-1)d和部分和 S_n = ((n) ÷ (2))(a_1 + a_n)。下表將這些公式應用於多個實際輸入集，包括正公差、負公差（遞減）和分數步長。

注意負 d 如何產生遞減數列，以及即使後面的項變為負數，只要早期的項足夠大，和仍然可以是正數。

首項 a_1

數列的起始值 — 位置 n = 1 時的值。每個其他項是通過重複將公差加到它上面而構造的。

公差 d

從一項到下一項的固定加量：d = a_{n} - a_{n-1}。正 d 給出遞增數列，負 d 給出遞減數列，d = 0 給出常數列。

第n項 a_n

位置 n 處的項的值，可直接用 a_n = a_1 + (n-1)d 求得，無需列出中間的每一項。

部分和 S_n

前 n 項的和，S_n = ((n) ÷ (2))(a_1 + a_n)。它配對首項和末項，再乘以對數。

項位置 n

一個正整數索引，告訴你想要哪一項（第1項、第2項、第3項、…）。它也等於在 S_n 中被求和的項數。

等差數列與級數

數列是項的有序列表（5, 7, 9, …）；級數是將那些項相加得到的。a_n 描述數列，而 S_n 是對應有限級數的值。

使用此程序從三個輸入 a_1、d 和 n 求出第n項和和。我們將通過每一步帶著例子 a_1 = 5、d = 2、n = 8。

1. 確定 a_1、d 和 n。讀出首項、項之間的常數步長以及你需要的位置。這裡 a_1 = 5、d = 2 和 n = 8。
2. 計算第n項。代入 a_n = a_1 + (n-1)d：
   a_8 = 5 + (8 - 1)× 2 = 5 + 7× 2 = 5 + 14 = 19。
3. 計算部分和。將 a_1、a_n 和 n 代入 S_n = ((n) ÷ (2))(a_1 + a_n)：
   S_8 = ((8) ÷ (2))(5 + 19) = 4 × 24 = 96。
4. 檢查結果。列出項得到 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — 最後一項是 a_8 = 19，它們的總和為 96，確認了 S_8。

如果你只需要和且已經偏好從 a_1 和 d 開始工作，組合形式 S_n = ((n) ÷ (2))\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) 在一行中給出相同的答案：S_8 = ((8) ÷ (2))(2× 5 + 7× 2) = 4(10 + 14) = 96。