這個計算機的功能
當你已經知道項數、首項的值以及末項的值時，這個工具就能算出等差級數（也稱為等差數列）的總和。不必再一項一項手動相加，只要輸入三個數字，就能立刻得到結果。
使用方式
填入項數 n、首項 a₁ 以及末項 aₙ，按下計算即可看到總和。結果表格還會顯示「平均項」，也就是首項與末項的中間值──這個直覺正好說明了公式為什麼成立。
公式說明
總和的公式為：
S_n = ((n(a_1 + a_n)) ÷ (2))
這個巧思一般歸功於少年時期的高斯（Carl Friedrich Gauss）。把首項與末項、第二項與倒數第二項……依此配對，每一對的和都相同（a_1 + a_n）。這樣的配對共有 n/2 組，於是總和就是 n(a_1 + a_n)/2。由於每一項都是等距排列，所有項的平均值會等於頭尾兩端的平均值，而總和正好就是這個平均值乘上項數。
實例演算
以級數 1, 3, 5, 7, ..., 19 為例。此時 n = 10、a_1 = 1、a_n = 19，總和為：
S = ((10 × (1 + 19)) ÷ (2)) = ((10 × 20) ÷ (2)) = 10 × 10 = 100
若把這十個奇數直接相加（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）同樣得到 100，印證了公式的正確性。
定義與詞彙表
- 等差級數／等差數列
- 等差數列各項之和——一列數字，其中每一項與前一項相差一個固定的量。數列本身（1, 4, 7, 10, …）是級數；相加的總和（1 + 4 + 7 + 10）是級數和。
- n — 項數
- 相加的項數。必須是正整數；在 S_n = ((n) ÷ (2))(a_1 + a_n) 中，它按比例調整總和。
- a₁ — 首項
- 數列的起始值，加法開始的項。
- aₙ — 末項
- 包含在總和中的最後一項（第 n 項）。與 a_1 一起，它設定相加值的範圍。
- d — 公差
- 從一項移動到下一項所加的常數，d = a_{k+1} - a_k。可從端點求得為 d = ((a_n - a_1) ÷ (n - 1))。正的 d 給出遞增數列；負的 d 給出遞減數列。
- 平均項
- 所有項的平均值，等於 ((a_1 + a_n) ÷ (2))（也是 ((S_n) ÷ (n))）。因為各項均勻分佈，平均值就是首項和末項的中點，因此 S_n = n × (平均項)。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
每一項一定要是整數嗎？
不一定。只要相鄰兩項之間的間距固定，這個公式對任何等差數列都成立，包含小數與負數。
如果不知道末項怎麼辦？
若你知道的是公差 \(d\)，可以先用 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) 算出末項，再使用本計算機；或者直接套用等價的公式 \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\)。
n 可以是小數嗎？
在真正的數列中，\(n\) 是正整數（代表項數）。計算機仍會照算術運算給出結果，但建議使用整數，結果才有意義。