📐 Associated Laguerre Polynomial 計算機

本工具會在一連串 x 值上，列出廣義（締合）拉蓋爾多項式 L_{n}^{\alpha}(x) 的數值表。您只需輸入階數 n、參數 \alpha、起始 x、步長以及要產生的列數，計算器就會回傳多項式在每個 x 處的值。這純粹是數學運算，放諸四海皆準，不涉及任何地區或國家的特定假設。

請輸入 n（非負整數）、\alpha（任意實數；標準正交性的情形要求 \alpha > -1）、x 的起始值、遞增量，以及列數。x 值會依 x_i = 起始 x + i × 步長（i = 0, 1, \ldots, 列數-1）依序產生，並逐一計算並列出對應的 L_{n}^{\alpha}(x_i)。

其封閉形式為一有限級數：

採用預設值 n = 3、\alpha = 1 時，多項式的明確形式為

伴隨（廣義）拉蓋爾多項式 L_n^{(\alpha)}(x) 是關於 x 的 n 次多項式，其係數取決於參數 \alpha。閉形式為

前五個多項式以一般 \alpha 形式表示如下：

特殊情況 \alpha=0。令 \alpha=0 可得到普通拉蓋爾多項式 L_n(x)=L_n^{(0)}(x)：

最高次項係數始終為 \dfrac{(-1)^n}{n!}，與 \alpha 無關。

次數 n

非負整數，表示多項式的次數；L_n^{(\alpha)}(x) 恰好有 n 個根。在計算器中這是 度數 欄位。

參數 \alpha

實數（通常 \alpha>-1），用於改變二項式係數和正交性權函數。欄位名稱為 alpha。當 \alpha=0 時，多項式簡化為普通拉蓋爾多項式。

自變數 x

計算多項式的點。表格對 x_i=起始X+i·步長X 進行掃描。正交性的自然定義域為 (0,\infty)。

廣義二項式係數

對於實數上指標，\binom{n+\alpha}{n-k}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1) (n-k)!}，通過伽瑪函數將 \binom{m}{j}=m!/(j!(m-j)!) 擴展到非整數 \alpha。

三項遞推關係

生成多項式的穩定方法：(k+1)L_{k+1}^{(\alpha)}=(2k+1+\alpha-x)L_k^{(\alpha)}-(k+\alpha)L_{k-1}^{(\alpha)}，從 L_0^{(\alpha)}=1 和 L_1^{(\alpha)}=1+\alpha-x 開始。

在 (0,\infty) 上的正交性

多項式彼此正交：\displaystyle\int_0^\infty L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x) w(x) dx=((\Gamma(n+\alpha+1)) ÷ (n!))\delta_{nm}。

權函數 w(x)=x^{\alpha}e^{-x}

正交性所應用的因子；當 \alpha=0 時，權函數為簡單的指數權 e^{-x}。積分收斂需要 \alpha>-1。

使用以下事實可更容易地讀取 L_n^{(\alpha)}(x) 的計算表格：

• 實根個數。當 \alpha>-1 時，L_n^{(\alpha)}(x) 在開區間 (0,\infty) 內恰好有 n 個簡單實零點。如果表格欄穿過零點 n 次，則已找到所有零點。
• 符號改變。由於所有零點都是簡單的，多項式在每個零點處改變符號。在兩個連續零點之間，數值保持恆定的符號，所以相鄰行之間的符號翻轉表示一個根的存在——這對於 二分法 或 牛頓 根查找器的起始區間很有用。
• 在原點處的值。每個伴隨拉蓋爾多項式都滿足 L_n^{(\alpha)}(0)=\binom{n+\alpha}{n}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n! \Gamma(\alpha+1)}。例如，當 n=4,\ \alpha=0 時，在 x=0 處的第一行為 1，當 n=4,\ \alpha=2 時為 \binom{6}{4}= 15。
• 量子力學。氫原子波函數的徑向部分由 L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}\!≤ft(2r/(na_0)\right) 構成；多項式的節點對應於軌道的徑向節點。
• 高斯–拉蓋爾求積。表格中列出的零點正是用於近似 \int_0^\infty f(x) x^{\alpha}e^{-x} dx 的節點，其權重由相同的多項式導出。

這是一般數學參考資訊；請在關鍵應用中驗證您所依賴的任何值。