📐 Associated Legendre Polynomial Table 計算機

這個工具會在您指定的 x 區間內，計算連帶勒讓德函數 P_n^m(x)（階數 n、次數 m）的數值表，並繪製對應的曲線。它屬於純數學，沒有任何單位或特定國家的假設，無論在哪裡使用結果都完全相同。連帶勒讓德多項式廣泛出現在物理與應用數學中：球諧函數、球座標下拉普拉斯方程的解、多極展開，以及量子力學中的角動量問題，都會用到它。

輸入整數階數 n（0、1、2……）與整數次數 m，且須滿足 -n ≤ m ≤ n。接著設定 x 的起始值（介於 -1 與 1 之間）、每一步的遞增量，以及要計算的列數。預設值 n = 2、m = 1、起始值 = -1、步進 = 0.02、共 101 列，會讓 x 從 -1 一路掃到 +1（含兩端）。您可以選擇 Type A（Wolfram 慣例）或 Type B（Maple 慣例）；對於 (-1, 1) 區間內的實數 x，兩者的數值大小相同，僅差在前置係數的正負號／相位。

對於整數 n 與 0 ≤ m ≤ n，我們採用

並以數值上穩定的遞迴關係求值：先計算 P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!(1-x^2)^{m/2}，再算 P_{m+1}^m = x(2m+1)P_m^m，接著利用 (l-m)P_l^m = (2l-1)x P_{l-1}^m - (l+m-1)P_{l-2}^m。對於負的 m，則用 P_n^{-m} = (-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m。這種封閉式遞迴可避免正整數 m 時、直接套用 _2F_1 形式所造成的 Gamma 函數數值爆炸。

取 n = 2、m = 1 時，函數為

當 x = 0 時值為 0；當 x = 0.5 時為 -3(0.5)(0.866025) = -1.299038；當 x = -0.5 時為 +1.299038。整條曲線從 0 起步（x = -1），在 x = -0.577 附近上升到約 +1.1547，於 x = 0 處穿越零點，在 x = +0.577 附近下探至約 -1.1547，最後在 x = +1 時回到 0。

整數次數 n 和階 0≤ m≤ n 的伴隨勒讓德函數 P_n^m(x) 遵循 P_n^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\dfrac{d^m}{dx^m}P_n(x)。因子 (-1)^m 是包含在 A 型約定（與 Wolfram 相符）中的 Condon–Shortley 相位；B 型約定（Maple）省略它，因此其奇數 m 項僅在符號上有所不同。下表列出 A 型下的顯式形式。

n	m	P_n^m(x)（A 型，帶符號）
0	0	1
1	0	x
1	1	-√(1-x^2)
2	0	\tfrac{1}{2}(3x^2-1)
2	1	-3x√(1-x^2)
2	2	3(1-x^2)
3	0	\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)
3	1	-\tfrac{3}{2}(5x^2-1)√(1-x^2)
3	2	15x(1-x^2)
3	3	-15(1-x^2)^{3/2}

作為完整性檢查，在 x=0.5 處，項目 P_2^1 給出 -3(0.5)√(1-0.25)=-1.5√(0.75)= -1.299038。m=0 列重現了普通勒讓德多項式 P_n(x)，例如 P_3^0(x)=\tfrac12(5x^3-3x)，可以使用勒讓德多項式表計算機製成表格。

次數 n

一個非負整數（degreeN），設定基礎勒讓德多項式 P_n(x) 的階數，該多項式的次數為 n。

階 m

一個整數（orderM），控制取多少個導數。為了在 (-1,1) 上得到實值結果，通常使用 0≤ m≤ n；當 m>n 時，由於次數為 n 的多項式的第 m 階導數消失，該函數恆為零。

參數 x

評估點（initialX 加上 i·stepX）。這些函數在 -1≤ x≤ 1 上是實數；在物理中 x=\cosθ。

A 型（Wolfram / Condon–Shortley）

包含相位因子 (-1)^m。這是 Wolfram 的 LegendreP 和標準量子力學文本使用的約定。

B 型（Maple）

省略 (-1)^m 相位，因此 P_n^m（B 型）=(-1)^m P_n^m（A 型）。數值大小相同；只有奇數 m 項的符號不同。

雙階乘 (2m-1)!!

奇數整數的乘積 (2m-1)(2m-3)·s 3· 1，其中 (-1)!!=1。它出現在領導係數 P_m^m(x)=(-1)^m(2m-1)!! (1-x^2)^{m/2} 中；例如 P_3^3 使用 5!!=15。請參閱雙階乘計算機獲取這些值。

負階關係

對於 m>0，P_n^{-m}(x)=(-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^{m}(x)，通過階乘連接正階和負階。

幾個結構性質讓你可以對製成表格的值和繪製的曲線進行合理性檢查：

• 奇偶性。 P_n^m(-x)=(-1)^{n+m}P_n^m(x)。當 n+m 為偶數時，圖關於 x=0 對稱；當 n+m 為奇數時，它是反對稱的（因此通過原點）。
• 內部零點。 在開區間 (-1,1) 上，P_n^m(x) 恰好有 n-m 個簡單零點。例如 P_3^1 有兩個內部零點，而 P_n^n 沒有。
• 端點行為。 由於因子 (1-x^2)^{m/2}，所有帶 m>0 的函數在 x=± 1 處消失。對於 m=0 值是 P_n(1)=1 和 P_n(-1)=(-1)^n。
• 邊緣附近的數值大小。 對於更高的 m，(1-x^2)^{m/2} 因子在 x\to±1 時銳利地抑制曲線，因此最大偏差發生在範圍的中部。

這些函數是球諧函數 Y_n^m(θ,\phi) 的 θ 相關部分：寫 x=\cosθ，有 Y_n^m\propto P_n^m(\cosθ) e^{im\phi}。內部零點變成緯度線的節點圓，而 m>0 端點消失對應於諧函數在極點傾向於零。因此相同的 P_n^m 值直接馈入在所選 θ 和 \phi 處的球諧函數評估。