🎲 At Least K Successes Binomial 計算機

這個工具可以算出在 n 次獨立試驗中，至少出現 k 次成功的機率，前提是每次試驗成功的機率都相同，皆為 p。這就是二項分布的上尾累積機率，記作 P(X ≥q k)。它廣泛應用於品質管制、可靠度測試、A/B 測試、民意調查，以及任何由重複「是／否」（白努利）試驗所構成的情境。

輸入三個數值：試驗次數 n（必須為整數）、你關注的最少成功次數 k，以及每次試驗的成功機率 p，請以 0 到 1 之間的小數表示（例如 25% 就輸入 0.25）。按下「計算」後，即可看到 P(X ≥q k)、換算成百分比的同一數值，以及恰好 k 次的機率 P(X = k) 與下尾機率 P(X ≤q k)。

恰好出現 i 次成功的機率，由二項機率質量函數給出：\binom{n}{i}· p^{i}· (1-p)^{n-i}，其中 \binom{n}{i} 代表從 n 次試驗中挑出哪幾次成功的組合數。要計算「至少 k 次」，我們把從 i = k 到 i = n 的每一項全部相加：

本計算機採用逐項遞迴的方式建構每一項，而非直接計算龐大的階乘，藉此維持數值穩定性，即使 n 很大也能保持精確。

假設你拋一枚公正硬幣（p = 0.5）共 10 次，想知道至少出現 6 次正面的機率。在 n = 10、k = 6、p = 0.5 的條件下，i = 6, 7, 8, 9, 10 各項之和為

P(X ≥q k) 是一個單側（上尾）機率：它回答「如果真實成功率確實是 p，我在 n 次試驗中恰好看到 k 個或更多成功的機率是多少？」它將從恰好 k 個成功到全部 n 個的每一個結果都合併在一起。

較小的結果——例如低於 0.05——意味著觀察到的成功次數在假設的 p 下會令人驚訝。這正是單側 p 值背後的邏輯：如果你假設一個基準速率，而你的資料落在尾部很遠的地方，這個假設看起來就值得懷疑。較大的結果意味著該次數是平凡的，完全與假設的 p 相符。

• A/B 測試。如果對照組轉換率是 p，變體產生了 n 次轉換中的 k 次，P(X ≥q k) 衡量該提升是否可能只是噪音。微小的尾部機率是該變體確實不同的證據。
• 品質控制／驗收抽樣。假設缺陷率為 p，P(X ≥q k) 是一批在 n 個樣本中出現 k 個或更多缺陷品的機率——這是接受/拒絕規則的基礎。
• 可靠性「至少一個」。設定 k=1 得到在 n 次獨立嘗試中至少發生一個事件的機率。

對於大的 n，二項分佈尾部通常由常態分佈近似，因此一旦 np 和 n(1-p) 都舒適地超過約 10，常態上尾工具可以作為健全性檢查。將該數字視為描述你的資料與假設 p 的相容程度；選擇行動的閾值是研究設計決策，不是機率本身決定的事情。

n — 試驗次數

實驗重複的固定總次數（例如 20 次硬幣翻轉、100 個抽樣零件）。

k — 最少成功次數

被測試的閾值。P(X ≥q k) 將獲得恰好 k, k+1, \dots, n 個成功的機率相加。

p — 單次試驗成功機率

任何單次試驗是「成功」的機率，假設對每次試驗都相同。它介於 0 和 1 之間。

柏努利試驗

一個實驗恰好有兩個結果——成功（機率 p）或失敗（機率 1-p）。二項設定是 n 個相同、獨立的柏努利試驗。

二項係數 \binom{n}{i}

「n 選 i」，在 n 次試驗中排列 i 個成功的不同方式數：\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i! (n-i)!}。

累積／上尾機率

聚合一系列結果的機率。P(X ≥q k) 是上尾——它加總了從 k 到 n 的所有次數的機率。它的補集是 P(X ≤q k-1)。

獨立性

假設一次試驗的結果不影響任何其他試驗的假設。沒有獨立性（以及恆定的 p），二項公式不適用。