🎲 Bayes Theorem 計算機

貝氏定理（Bayes' Theorem）說明了當我們取得新證據 B 時，該如何更新對假設 A 為真的機率判斷。它把原本的先驗（prior）信念，透過權衡「證據在假設成立下出現的可能性」與「證據整體出現的可能性」，轉換成更新後的事後（posterior）信念。這套思維是統計學、機器學習、醫學診斷、垃圾郵件過濾，乃至在不確定情境下做理性決策的核心基礎。

請輸入三個介於 0 到 1 之間的機率值：

• P(A)——先驗機率，也就是假設為真的基礎發生率（例如某疾病在人群中的盛行率）。
• P(B|A)——概似度，即假設 A 成立時觀察到證據的機率（例如檢測的敏感度）。
• P(B|¬A)——偽陽性率，即假設 A 不成立時仍出現證據的機率。

計算機會依「全機率定律」自動推算出證據的總機率 P(B)，再回傳事後機率 P(A \mid B)。

核心算式為

假設某疾病在人群中的盛行率為 1%，因此 P(A) = 0.01。某項檢測對真正患病者有 90% 的命中率，即 P(B \mid A) = 0.9；但同時也有 8% 的偽陽性率，即 P(B \mid \neg A) = 0.08。則

貝葉斯定理將先驗概率 P(A)、真陽性率（可能性）P(B \mid A) 和偽陽性率 P(B \mid \neg A) 結合成更新的後驗概率 P(A \mid B)。結果中最令人驚訝的單一特徵是它對基礎比率 P(A) 的敏感性：當一個條件罕見時，即使是高度準確的測試也會產生較低的後驗概率。下表在某些地方固定了測試特性，並改變輸入以使該依賴性可見。

閱讀前兩行可以看出，將偽陽性率從 0.05 降低到 0.01 會將後驗從約 17% 提高到 50%，儘管基礎比率和敏感性保持不變。閱讀第一、三和四行可以看出，隨著先驗從 1% 上升到 50%，相同的測試將後驗從 17% 推高到約 95%。最後一行演示了相反的極端情況：罕見條件加上高偽陽性率會使後驗保持在 5% 以下，儘管真陽性率為 90%。

後驗概率 P(A \mid B) 是在您觀察到證據 B 之後假設 A 為真的概率。它回答實際問題「鑑於這個陽性結果，該條件實際存在的可能性有多大？」—— 這通常是決策者想知道的。

重要的是不要將後驗與可能性 P(B \mid A) 混淆。可能性（在測試背景下通常稱為敏感性或真陽性率）是在假設 A 為真時看到證據的概率。這兩個條件概率指向相反的方向，只有在特殊情況下才相等。測試可以有 99% 的真陽性率，但產生的後驗遠低於 99% —— 差異是由基礎比率和偽陽性率驅動的。

基礎比率 P(A) 是這一差距的推動力。當 A 罕見時，真實案例的池很小，因此即使應用於大量 \neg A 人群的適度偽陽性率也會產生比真陽性更多的偽陽性。忽視基礎比率並將陽性結果解讀為幾乎確定是著名的基礎比率謬誤。

最後，貝葉斯更新是迭代的。計算後驗後，它可以作為下一個獨立證據的先驗。例如，觀察第二個陽性測試意味著您將第一個後驗作為 P(A) 輸入並再次更新。重複的獨立證據會逐步完善估計，這就是為什麼貝葉斯推理是序列測試、垃圾郵件過濾和許多機器學習模型的基礎。

先驗—— P(A)

在觀察證據之前分配給假設 A 的概率。在測試背景下，這是條件的流行程度或基礎比率。

可能性—— P(B \mid A)

當 A 為真時觀察到證據 B 的概率。對於診斷測試，這是敏感性或真陽性率。

偽陽性率—— P(B \mid \neg A)

當 A 為假時觀察到證據 B 的概率。對於診斷測試，它等於 1 - 特異性。

證據 / 邊際可能性—— P(B)

在所有假設下觀察到證據的總概率，通過全概率法則計算為 P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) \bigl(1 - P(A)\bigr)。它是歸一化後驗的分母。

後驗—— P(A \mid B)

考慮證據 B 後 A 的更新概率。它是貝葉斯定理的輸出。

基礎比率

先驗 P(A) 的另一個名稱—— 假設在人群中的基礎頻率，與任何特定測試結果無關。

貝葉斯定理

將這些量聯繫起來的規則：P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}。符號 P(X \mid Y) 讀作「給定 Y 時 X 的概率」，\neg A 表示「非 A」，即假設的補集。