🧮 Bernoulli Equation 計算機

伯努利方程式描述了流動流體的能量守恆原理。對於穩定、不可壓縮且無摩擦（無黏性）的沿流線流動而言，靜壓、動壓（\tfrac{1}{2}\rho v^{2}）與位壓（\rho g h）三者之和維持為定值。本計算機正是運用這項原理，在已知第一點的條件下，求出第二點的靜壓 P_2。

請先輸入流體密度 \rho（水為 1000 kg/m³，空氣約為 1.225 kg/m³）與重力加速度 g（9.81 m/s²）。接著填入第一點（Point 1）的壓力、流速與高度，再填入第二點（Point 2）的流速與高度。計算機會以帕斯卡（Pa）為單位輸出 P_2，並列出各項能量的分解結果。

由 P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2 出發，將 P_2 移項並單獨求解，可得：

當流體加速（v_2 > v_1）時，動壓項隨之增大，靜壓 P_2 便會下降——這正是升力、化油器與文氏管（Venturi）流量計的運作原理。

水（\rho = 1000\ kg/m^3）以 v_1 = 2\ m/s 的速度流動，在 h_1 = 0 處壓力為 P_1 = 101325\ Pa。下游處在相同高度下加速至 v_2 = 5\ m/s。則

伯努利方程需要重力加速度值和流體密度值。使用以下值作為起點，並始終使用一致的國際單位制（壓力以帕斯卡、密度以kg/m³、速度以m/s、高度以公尺）。

不可壓縮性注意：經典伯努利方程假設密度恆定。對於氣體，這只在低速時成立——通常在馬赫數約0.3以下（大約海平面空氣中的100 m/s）。超過該閾值，可壓縮性效應變得顯著，應使用可壓縮流能量平衡代替。

• P_1、P_2 — 靜壓在上游和下游點處的靜壓（Pa）。這是隨流體運動的感測器所讀取的壓力，與運動無關。
• v — 流速沿著流線的流體速度（m/s）。v_1和v_2是兩個點處的速度。
• h — 位能水頭，點相對於任意基準面的垂直高度（m）。
• \rho — 密度，流體單位體積的質量（kg/m³），不可壓縮流中假設恆定。
• g — 重力加速度（m/s²），通常為9.81。
• 靜壓：流體的熱力學壓力（Pa），方程中的P項。
• 動壓：單位體積的動能項，\tfrac{1}{2}\rho v^2（Pa）——當流動停滯時的壓力上升。
• 靜水壓：單位體積的位能項，\rho g h（Pa）——由流體柱的重量/高度差引起的壓力。
• 流線：處處與當地速度相切的曲線；伯努利方程沿單一流線應用。
• 無黏流：理想化流動，無黏性，因此不損失能量於摩擦。
• 穩定流：其性質在任何固定點不隨時間改變的流動。

示例1——高度變化，速度恆定

水（\rho = 1000 kg/m^3）流經均勻管道，所以速度不變（v_1 = v_2 = 2 m/s）。進口在h_1 = 10 m處，P_1 = 150000 Pa；出口降至h_2 = 4 m。求P_2。

1. 速度項：\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0 Pa。
2. 高度項：\rho g(h_1 - h_2) = 1000 × 9.81 × (10 - 4) = 58860 Pa。
3. 加到P_1：P_2 = 150000 + 0 + 58860。
4. 結果：P_2 = 208860 Pa。

由於流體下降6 m，將位能水頭轉換為壓力，所以下游壓力上升。58860 Pa的增益與6 m水柱的靜水壓相符。

示例2——空氣通過文丘里（速度增加）

空氣（\rho = 1.225 kg/m^3）水平流動（h_1 = h_2 = 0）通過文丘里。在寬進口處v_1 = 20 m/s，P_1 = 101325 Pa；在喉部v_2 = 60 m/s。求P_2。

1. 速度項：\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 × (400 - 3600) = -1960 Pa。
2. 高度項：\rho g(h_1 - h_2) = 0（水平）。
3. 加到P_1：P_2 = 101325 - 1960 + 0。
4. 結果：P_2 = 99365 Pa。

當空氣在喉部加速時，其靜壓下降1960 Pa——文丘里效應。該下降等於動壓的增加，因為對於兩種速度，我們已檢驗速度（馬赫數≈0.18）保持遠低於馬赫0.3的不可壓縮性限制，所以在此將空氣視為恆定密度是有效的。