什麼是伯努利數？
伯努利數 B_n 是一組有理數序列，廣泛出現在數論與分析學之中。其定義來自生成函數 ((x) ÷ (e^x - 1)) 的馬克勞林級數展開係數。從整數冪次和的封閉公式、歐拉－馬克勞林公式，到黎曼 \zeta 函數在偶數點的取值，以及正切與餘切函數的泰勒級數，處處都能看見伯努利數的身影。
如何使用本計算機
輸入非負整數索引 n（0、1、2、3……），並選擇要顯示的有效位數。計算機會回傳精確的有理數值，以分數 p/q 的形式呈現（例如 B_{12} = -691/2730），同時附上四捨五入後的小數。有效位數設定僅影響小數的顯示，分數結果則永遠保持精確。
採用的慣例
本工具採用 B_1 = -((1) ÷ (2)) 的慣例，對應生成函數 ((x) ÷ (e^x - 1))。另一種「正號」慣例則設定 B_1 = +((1) ÷ (2))，並使用 ((x) ÷ (1 - e^{-x}))；兩者僅在 B_1 的正負號上有所不同。除此之外，所有其他伯努利數在兩種慣例下完全相同，而 B_1 之後的每一個奇數索引值都恰好為零。
公式說明
為了避免浮點數的捨入誤差（例如 B_2 算出 0.16666\ldots 導致 6 · B_2 被截斷為 0），本計算機採用精確的有理數運算。它運用遞迴關係 B_0 = 1 以及
實例演算（n = 4）
從 B_0 = 1、B_1 = -((1) ÷ (2))、B_2 = ((1) ÷ (6)) 與 B_3 = 0 出發，遞迴關係可得出
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。