什麼是伯努利數？
伯努利數 B_n 是一組著名的有理數序列，廣泛出現在各個數學領域：包括整數冪次和的封閉公式、歐拉—麥克勞林（Euler-Maclaurin）公式、黎曼 ζ 函數（Riemann zeta function）的取值，以及三角函數與雙曲函數的泰勒展開式中。本計算機會在您選定的任意索引範圍內，建立完整的 B_n 表格，並將每個數值同時以「最簡分數」（含分子與正分母）以及「小數近似值」兩種形式呈現。
採用的慣例
伯努利數有兩種常見慣例，差別僅出現在索引 1 這一項。本工具採用「第一類伯努利數」慣例，即 B_1 = -1/2，對應母函數 x/(e^x - 1)。因此 B_0 = 1、B_1 = -1/2、B_2 = 1/6、B_4 = -1/30，依此類推。而所有大於 1 的奇數索引項皆恰好為零：B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0。
使用方式
輸入索引 n 的最小值（至少為 0）與最大值（最高可達 100）。再選擇小數欄位要顯示的有效位數——這純粹是顯示設定，完全不會改變精確分數的數值。按下計算後，範圍內每個整數 n 都會對應一列結果。
公式說明
每個 B_n 都由遞迴關係式求得：
並以 B_0 = 1 為起點。所有運算皆採用任意精度整數的精確有理數運算，因此不會發生浮點數溢位——一般試算表通常在 n = 18 附近便會失準，而本工具即使遠超過此值仍能保持完全精確。
實例演算
當 n = 2 時，遞迴式給出
因此
化為小數即 0.1666\dots。同理可得 B_4 = -1/30 與 B_6 = 1/42。
關鍵術語與符號
- B_n（伯努利數）
- n 次的有理數序列成員，出現在整數論和分析學中。前幾個值（使用 B_1=-\tfrac12 約定）是 B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}。所有奇數索引 n≥ 3 的伯努利數都正好是 0。
- 生成函數 \dfrac{x}{e^x-1}
-
定義伯努利數的指數生成函數，通過冪級數展開 ((x) ÷ (e^x-1))=\sum_{n=0}^{\infty} B_n ((x^n) ÷ (n!)).本級數中 x^n/n! 的係數正好是 B_n。此約定產生 B_1=-\tfrac12。
- 二項式係數 \binom{n+1}{k}
- 從 n+1 中選擇 k 個物品的方式數，等於 \dfrac{(n+1)!}{k! (n+1-k)!}。這些係數是應用於遞推關係內每個早期伯努利數的權重，用於構建表格。
- 遞推關係
-
用所有較低索引值 B_0,\dots,B_{n-1} 表示每個 B_n 的公式：B_n=-((1) ÷ (n+1))\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k} B_k.從 B_0=1 開始，它逐個索引地生成整個序列。
- 精確（最簡）分數
- B_n 作為最簡形式的整數比 p/q 的表示，其中 \gcd(p,q)=1——例如 B_{12}=-\tfrac{691}{2730}。因為每個伯努利數都是有理數，精確分數不會像舍入的十進制一樣損失精度。
- 兩種約定
- 作者只在單一項 B_1 的符號上有所不同。此處使用的現代約定設定 B_1=-\tfrac12（與生成函數 x/(e^x-1) 匹配）；較舊的約定設定 B_1=+\tfrac12（與 x/(1-e^{-x}) 匹配）。所有其他 B_n 在兩種約定中都相同，因此一旦說明 B_1 的值，任何表格都是明確的。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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