💻 Binary Division 計算機

這個工具能將一個二進位（base-2）數除以另一個二進位數，並同時以二進位與十進位顯示商與餘數。由於用手算二進位長除法很容易出錯，計算機會先把你輸入的數字轉成十進位，進行整數除法，再把結果換算回二進位，省去繁瑣計算。

在第一個欄位輸入被除數（要被除的那個數），在第二個欄位輸入除數，兩者都只能使用 0 和 1 這兩個數字。按下計算，即可看到商與餘數。除數不可以是零，因為除以零在數學上沒有定義。

假設 A 與 B 是輸入的二進位數，計算機會先求出 A_{10} = parseBinary(A) 與 B_{10} = parseBinary(B)。整數商為

以 1100_2 除以 10_2 為例。換成十進位後，1100_2 = 12，10_2 = 2。於是

二進位長除法的運作方式完全相同於十進位長除法，但實際上更簡單：在每一步，除數要麼恰好整除當前位元（寫下1），要麼不能（寫下0）。沒有乘法表需要記憶——你只需將除數乘以 0 或 1。

計算 被除數_2 ÷ 除數_2 = Q R R 的一般程序為：

1. 從最高有效位對齊。從被除數最左邊的位元開始作為目前的工作值。
2. 比較目前的工作值與除數。如果工作值大於或等於除數，則除數「能整除」。
3. 寫下商的位元。如果能整除則在上方寫 1，否則寫 0。
4. 相減。如果你寫了 1，從工作值減去除數；差值成為新的工作值。如果你寫了 0，工作值保持不變。
5. 將被除數的下一位移下來並附加到工作值。
6. 重複步驟 2–5，直到被除數的每一位都被移下來為止。
7. 讀出結果。上方收集的位元構成商 Q；剩下的工作值就是餘數 R。

已解決的例子：1011_2 ÷ 10_2（即十進位中的 11 ÷ 2）。

1. 移下第一位：工作值 = 1。 1 ≥ 10？否 → 商位元 0。
2. 移下下一位：工作值 = 10。 10 ≥ 10？是 → 商位元 1，相減：10 - 10 = 0。
3. 移下下一位：工作值 = 01 = 1。 1 ≥ 10？否 → 商位元 0。
4. 移下最後一位：工作值 = 11。 11 ≥ 10？是 → 商位元 1，相減：11 - 10 = 1。
5. 無位元剩餘。商 = 0101 = 101，餘數 = 1。

十進位驗證：11 ÷ 2 = 5 餘 1，且 101_2 = 5、1_2 = 1。 ✓

每個例子都展示了二進位長除法及其十進位驗證，其中關係始終為 被除數 = 除數× Q + R。

例子 1 — 非零餘數：1011_2 ÷ 10_2

1. 十進位等值：1011_2 = 11、10_2 = 2。
2. 長除法得出商位元 101 和剩餘位元 1。
3. 結果：1011_2 ÷ 10_2 = 101_2 R 1_2 → 十進位中 11 ÷ 2 = 5 R 1。
4. 驗證：2 × 5 + 1 = 11。 ✓

例子 2 — 除數大於被除數：100_2 ÷ 1000_2

1. 十進位等值：100_2 = 4、1000_2 = 8。
2. 因為除數（8）大於被除數（4），它永遠不能整除，所以每個商位元都是 0。
3. 結果：100_2 ÷ 1000_2 = 0 R 100_2 → 十進位中 4 ÷ 8 = 0 R 4。
4. 驗證：8 × 0 + 4 = 4。 ✓ 當被除數小於除數時，商始終為 0，餘數就是被除數本身。

例子 3 — 整除及驗證：11110_2 ÷ 110_2

1. 十進位等值：11110_2 = 30、110_2 = 6。
2. 移下位元直到到達 110 → 能整除一次；繼續移下位元，每次都在能整除時進行相減。
3. 結果：11110_2 ÷ 110_2 = 101_2 R 0 → 十進位中 30 ÷ 6 = 5 R 0。
4. 驗證商：101_2 = 5，且檢查 6 × 5 + 0 = 30。 ✓ 因為餘數為 0，所以除法是整除。

你可以使用二進位轉十進位轉換器確認任何這些轉換，並通過將商與除數相乘來確認最終驗證。

被除數

被除的數字——寫在除法括號下方的值。在 1011_2 ÷ 10_2 中，被除數是 1011_2。

除數

用來除的數字。在 1011_2 ÷ 10_2 中，除數是 10_2。除數不能為零。

商

除法的整數結果——除數能進入被除數的次數。寫在括號上方，每步一個位元。

餘數

移除最大整數商後剩下的量：R = 被除數 - 除數× Q。它總是小於除數。

二進位（二進制）

只使用數字 0 和 1 的數字系統，其中每個位置值是二的冪（1, 2, 4, 8, \dots）而不是十的冪。

位元

單個二進位數字（0 或 1）——「二進位數字」的簡稱。

LSB / MSB

最低有效位是最右邊的位元（1 的位置）；最高有效位是最左邊的位元（最高位置值）。二進位長除法從 MSB 向 LSB 處理位元。

整數除法 / 向下取整

只保留整數商並捨棄任何小數部分的除法——正是二進位長除法與其餘數一起產生的結果。

模運算

只返回除法餘數的運算（通常寫為 mod 或 %）。對於 1011_2 ÷ 10_2，模運算結果是 1_2。