💻 binary multiplication 計算機

這個工具能將兩個二進位（base-2，即基數為 2）的數字相乘，並以二進位字串呈現乘積，同時附上兩個輸入值與結果的十進位對照。它是一款通用的數學工具——二進位運算在世界各地都遵循相同的規則，因此不受任何國家或地區的法規影響。

在每個欄位中輸入一個二進位數字（只能使用 0 和 1）。系統會自動忽略其他字元，所以即使夾雜空格或多餘符號，也不會影響計算結果。按下計算後，即可同時看到二進位與十進位形式的乘積。

二進位乘法可以用「位移相加（shift-and-add）」的方式逐位計算，但最簡潔的做法是：先把每個運算元轉成十進位，相乘後再把答案換回二進位。以公式表示為：

舉例來說，二進位 1010 等於十進位 10，因為 1· 8 + 0· 4 + 1· 2 + 0· 1 = 10。

計算 1010 × 11。先進行轉換：1010_2 = 10，11_2 = 3。在十進位下相乘：

再把 30 換回二進位：

因此 1010 × 11 的二進位結果為 11110。

二進制乘法使用與十進制相同的移位相加長乘法程序，但因為乘數的每一位數字要麼是0要麼是1，所以簡單得多。乘以1會複製被乘數；乘以0會得到一行零。真正的工作只是按位位置左移每個部分積，然後用二進制進位規則將各行相加。

工作演練：(1010)_2 × (11)_2：

1. 設置運算數。被乘數A = 1010_2 = 10，乘數B = 11_2 = 3。預期積為10 × 3 = 30。
2. 乘以最右邊的乘數位（第0位 = 1）。因為該位是1，複製被乘數：部分積= 1010，左移0位。
3. 乘以下一個乘數位（第1位 = 1）。該位是1，所以再次複製被乘數並將其左移1位（在末尾附加一個零）：部分積= 10100。
4. 刪除任何零行。如果乘數位是0，其整行將是零，可以跳過。這裡兩行都保留。
5. 用二進制加法相加部分積。按位值對齐並相加，當兩個1相遇時進位（1+1 = 10，寫0進1）：
   01010
   + 10100
   = 11110
6. 讀取結果。二進制積為(11110)_2，等於十進制的30——確認了10 × 3 = 30。您可以驗證加法步驟本身為11110。

簡言之：為每個乘數位生成一行移位後的行（0位對應零行），然後用二進制加法求和所有行。m位數和n位數的完整積永遠不超過m+n位。

每個示例都展示了兩個輸入的十進制轉換、移位相加部分積以及最終的二進制積。

示例1——111_2 × 101_2（7 × 5 = 35）

1. 轉換：111_2 = 7、101_2 = 5。
2. 乘數位（從右到左）分別為1、0、1：
   • 第0位 = 1 \Rightarrow 111（移位0）
   • 第1位 = 0 \Rightarrow零行，跳過
   • 第2位 = 1 \Rightarrow 11100（移位2）
3. 相加：00111 + 11100 = 100011。
4. 結果：(100011)_2 =35，符合7 × 5 = 35。

示例2——1100_2 × 1010_2（12 × 10 = 120）

1. 轉換：1100_2 = 12、1010_2 = 10。
2. 乘數1010_2的位（從右到左）分別為0、1、0、1：
   • 第0位 = 0 \Rightarrow跳過
   • 第1位 = 1 \Rightarrow 11000（移位1）
   • 第2位 = 0 \Rightarrow跳過
   • 第3位 = 1 \Rightarrow 1100000（移位3）
3. 相加：0011000 + 1100000 = 1111000。
4. 結果：(1111000)_2 =120，符合12 × 10 = 120。

示例3——1_2 × 1101_2（單位乘數，1 × 13 = 13）

1. 轉換：1_2 = 1、1101_2 = 13。
2. 乘數1有一個單位，其值等於1，因此恰好有一個部分積，無需移位：1101。
3. 只有一行，所以無需相加。
4. 結果：(1101)_2 = 13。在二進制中將任何數乘以1都使其保持不變，就像在十進制中一樣。