🎲 Binomial Coefficient 計算機

二項式係數寫作 C(n, k)，唸作「從 n 個取 k 個」，用來計算在不考慮選取順序的情況下，從 n 個相異項目中挑出 k 個的方法總數。它是組合數學與機率論中最基礎的數值之一，出現在巴斯卡三角形、二項式定理，以及無數的計數問題之中。

輸入項目總數 n，再輸入你想選取的數量 k，計算機就會回傳精確的組合數。如果 k 大於 n，結果會是 0，因為你無法選出比現有項目更多的數量。

經典定義如下：

由於階乘的增長速度極快，本工具改用等價的連乘形式：對 i = 1…min(k, n−k) 依序乘上 (n−k+i)/i。這樣可以讓計算過程中的數字保持較小，避免溢位，同時得到完全相同的整數答案。

從 5 張牌中抽出 2 張，總共有幾種組合？計算

表格中的每一項都是二項式係數 \binom{n}{k}，排列方式使得每一行 n 列出 k = 0, 1, \dots, n 的值。這形成了帕斯卡三角形，其中每個內部項等於其上方兩個對角線項的和：\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}。注意每行內的對稱性，因為 \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}。

例如，\binom{10}{3} = 120，位於第10行，第 k=3 列。第 n 行中每一項的和等於 2^n（例如第4行：1+4+6+4+1 = 16 = 2^4）。

以下例題應用公式 \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}，使用乘法快速方法 \binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)·s(n-k+1)}{k!} 以便在任何大乘法之前，龐大的階乘就能被約掉。

例題1：\binom{10}{3} — 從10個中選3個

在 3! 上方只保留 10! 的前3個下降因子：

因此，當順序無關時，從10個項目中選擇3個項目有120種方式。

例題2：\binom{6}{6} — 選擇所有的

選擇所有可用項目只能以恰好一種方式進行。當 k = n 時，(n-k)! 項變為 0! = 1：

這驗證了恆等式 \binom{n}{n} = \binom{n}{0} = 1。

例題3：\binom{49}{6} — 一個49選6彩票

從49個號碼池中不同的無序6號碼票的數量使用乘法快速方法與六個最大的下降因子：

分子為 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 10,068,347,520，分母為 6! = 720：

因此，單一票有1比13,983,816的機率匹配所有六個號碼。如果您想要有序抽籤，您將使用排列 P(49,6) = \binom{49}{6}· 6! — 但對於典型彩票，只有組合才重要。