🎲 Binomial Coefficient Nck 計算機

二項式係數寫作 C(n, k)，常讀作「n 取 k」，用來計算在不考慮先後順序的情況下，從 n 個物件中選出 k 個共有多少種不同的選法。它是組合數學中最基礎的量之一，在機率、統計與代數中隨處可見——包括二項式定理、巴斯卡三角形（楊輝三角）以及二項分布。

輸入物件總數 n 與想要選取的數量 k，即可直接得到結果。本工具要求 n 與 k 皆為整數，且滿足 0 ≤ k ≤ n。若 k 大於 n，係數為 0，因為你不可能選出比實際存在還多的物件。

其定義公式為

從一副 10 張牌中可以組成多少種 3 張牌的組合？

帕斯卡三角形中的每一項都是二項係數 \binom{n}{k}。第 n 行列出從左邊 k=0 到右邊 k=n 的值。每個內部值等於其正上方兩個值的和，因此 \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}。下面的行涵蓋 n=0 到 n=10，讓您可以直接讀出小係數。

注意對稱性：每一行向前向後讀法相同，因為 \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}。第 n 行的所有項的和等於 2^{n} — 例如，第 10 行的和為 2^{10}=1024。

這些示例展示了完整代入 \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k! (n-k)!}，以便易於驗證每個結果。

示例 1 — 撲克牌手：C(52,5)

從 52 張牌的牌組中可以發多少種不同的 5 張牌手？順序不重要，因此我們使用二項係數。

這給出 2,598,960 種可能的 5 張牌撲克手。

示例 2 — 邊界情況 C(6,6)

從 6 個項目的集合中選擇全部 6 個項目可以用完全一種方式完成 — 保留所有內容。代入 k=n=6：

這依賴於慣例 0!=1。相同的邏輯給出 \binom{n}{0}=1 對於任何 n：恰好有一種方式選擇空集。因此 1。

示例 3 — 對稱性：C(8,2) = C(8,6)

恆等式 \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} 意味著選擇 k 個項目包括等價於選擇要遺漏的 n-k 個項目。為 n=8 計算兩邊：

兩者都等於 28，確認了對稱性性質。從 8 個中選擇 2 個保留的計數與選擇要捨棄的 6 個的計數相同。