什麼是二項分布信賴區間？
當你在 n 次試驗中觀察到 x 次成功時，樣本比例 \hat{p} = x/n 即是對真實成功機率的估計值。信賴區間則提供一個「很可能包含真實比例」的範圍。本計算器採用 Wilson Score（威爾遜分數）區間，相較於傳統的 Wald 法（常態近似法）更為精確，尤其在樣本數較小、或比例接近 0 或 1 時表現更佳。
使用方法
輸入成功次數、試驗總次數，並選擇所需的信賴水準（90%、95% 或 99%）。計算器會以百分比形式回傳區間的上下限，同時顯示樣本比例、區間中心、誤差範圍（半寬）以及所使用的 z 值。
公式說明
Wilson Score 區間會將估計值定錨在稍經調整的比例上，並在小樣本時將區間寬度向 0.5 收斂：
其中 z 為標準常態臨界值：90% 對應 1.6449、95% 對應 1.9600、99% 對應 2.5758。
實例演算
假設在 100 次試驗中有 40 次成功，信賴水準為 95%。則 \hat{p} = 0.40、z = 1.95996、z^{2} = 3.8415。分母為 1 + 3.8415/100 = 1.038415。中心值為
按信心水平的 Z 臨界值
威爾遜評分區間使用來自標準正態分布的雙側臨界值 z。對於信心水平 C，該值為 z = z_{1-\alpha/2}，其中 \alpha = 1 - C，使得中心區域等於 C，每條尾部保持 \alpha/2。最常用的值如下所示。
| 信心水平 | 尾部面積 \alpha/2 | 雙側 z |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
這些是雙側值：相同的 z 用於威爾遜下界和上界。較高的信心水平對應於較大的 z，這會擴寬區間。此計算機提供三個最常見的選項——90%（1.6449）、95%（1.9600）和 99%（2.5758）。
解釋您的信心區間
95% 的信心水平描述了該程序的長期性能，而不是關於您的單個區間的概率。如果您重複相同的抽樣並每次計算威爾遜區間，那麼大約 95% 的這些區間將包含真實人口比例 p。對於您實際計算的一個區間，真實的 p 要麼在其中，要麼不在；95% 是該方法在許多假設樣本中的屬性，而不是該特定區間捕獲 p 的機會。
區間的寬度反映了精度。狹窄的區間表示估計值確定緊密——通常是大量試驗的結果。寬的區間表示更大的不確定性，在小樣本或接近 0.5 的比例中很常見，其中二項式變異性最大。比較兩個組時，寬度大得多的區間表示其估計應被視為精度較低。
當界限接觸 0 或 1 時，意味著數據與一直到 0（或最高 1）的比例一致。當觀察計數處於極端時，通常會發生這種情況——例如，0 次成功會給出正好 0 的下界，所有觀察到的成功會給出正好 1 的上界。相反的界限仍然包含信息：0/20 的結果排除了高比例，即使下界為 0。威爾遜區間的構造目的是保持在有效的 [0, 1] 範圍內，因此這樣的觸及界限是預期的行為而不是錯誤。
這是一般統計信息，不是針對任何特定分析的專業建議。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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