🎲 Binomial Cumulative Probability 計算機

累積二項機率 P(X ≤ k) 代表在 n 次獨立試驗中，最多出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率 p 都相同。它等於把「0 次成功」一直累加到「k 次成功」的各個二項機率全部相加。這個計算器適用於任何二項實驗，例如丟硬幣、品質管制抽樣，或各種通過／不通過的測試。

請輸入三個數值：試驗次數（n）、作為門檻的成功次數（k），以及每次試驗的成功機率（p，介於 0 到 1 之間）。計算器會回傳累積機率 P(X ≤ k)，並附上幾個相關結果：恰好 k 次成功的機率 P(X = k)、右尾機率 P(X > k) 與 P(X ≥ k)，以及分配的平均值 n × p。

每一項都會用到二項係數 C(n,i) = \dfrac{n!}{i!(n-i)!}，它計算 i 次成功有多少種排列方式，再乘上 p^i（出現這些成功的機率）與 (1-p)^{n-i}（其餘失敗的機率）。把 i = 0 到 k 的各項加總，就得到累積值。完整公式為：

為了在 n 很大時仍維持數值穩定，計算器會利用比值 \dfrac{n-i}{i+1} × \dfrac{p}{1-p} 由前一項推導出下一項。

假設你丟一枚公正硬幣 10 次（n = 10，p = 0.5），想求「最多出現 3 次正面」的機率（k = 3）。相關的四項為

每一項都要乘上 0.5^{10} = ((1) ÷ (1024))。因此

P(X ≤ k) 是累積機率。它回答「得到最多 k 次成功的機率是多少?」的問題，方法是將 0、1、2、...、k 次成功的機率加總。它的值總是在 0 至 1 之間，且隨著 k 增加而不會減少。

P(X = k) 是單一點。它是恰好 k 次成功的機率 — 累積和中的一項。因此 P(X≤ k) 總是至少和 P(X=k) 一樣大，且 P(X≤ k)-P(X≤ k-1)=P(X=k)。

兩條尾部。右尾 P(X>k)=1-P(X≤ k) 是得到超過 k 次成功的機率，而 P(X≥ k)=P(X>k)+P(X=k) 包含了 k 本身。因為該變數是成功次數的整數，P(X≥ k) 是 P(X≤ k-1) 的補集，這是常見的混淆點 — 務必檢查截斷值 k 應該被納入或排除。

平均值。預期的成功次數是 \mu = n· p。對於 n = 20 次試驗且 p = 0.05，即 \mu = 1 個不良品平均；對於 n = 10 且 p = 0.9，即 \mu = 9。比較您的 k 與平均值，可以判斷您是在看可能的結果（k 接近 n· p）或尾部事件（k 離它很遠）。

讀取像 0.17 這樣的數字。結果 P(X≤ k)=0.17 表示得到最多 k 次成功的機率是 17% — 因此得到超過 k 次的機率是 83%。乘以 100 可讀成百分比。

當右尾很重要時。右尾機率是決策門檻和假設檢定的核心。如果您觀察到 k 次成功並想知道在假定的 p 下這有多令人驚訝，上尾值 P(X≥ k) 作為單邊 p 值：較小的值（通常低於 0.05）表示該結果不太可能純粹由機會造成。這就是驗收取樣計畫如何設定最大可容許不良品數，以及 A/B 測試如何標記異常高的成功計數。

• n — 試驗次數。實驗的固定次數獨立重複（例如 20 個檢驗項目、10 次擲硬幣）。
• k — 成功截斷值。感興趣的成功次數。在 P(X≤ k) 中，它是被納入累積和的最大成功計數；k 是從 0 到 n 的整數。
• p — 成功機率。單次試驗中「成功」的機率，每次試驗相同，其中 0≤ p≤ 1。
• 成功 / 失敗。每次試驗的兩個相互排斥的結果。「成功」就是您要計數的結果；其補集「失敗」的機率為 1-p。
• 二項係數 C(n, i)。寫為 \binom{n}{i}=\dfrac{n!}{i! (n-i)!}，它計算在 n 次試驗中排列 i 次成功的不同方式數量。
• 累積機率。P(X≤ k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}，k 次或更少成功的總機率。
• 尾部機率。分佈一端的機率：右（上）尾 P(X>k)=1-P(X≤ k)，或包含上尾 P(X≥ k)。用於門檻和 p 值。
• 平均值（期望值）。\mu = n· p，每 n 次試驗中成功次數的長期平均值。