🎲 Binomial Distribution Graph 計算機

二項分布描述的是在固定 n 次獨立試驗中，成功次數 x 的機率分布，其中每次試驗成功的機率都相同，記為 p（也就是所謂的伯努利試驗）。它可以回答像是「丟 20 次硬幣，剛好出現 5 次正面的機率有多少？」這類問題。這純粹是數學概念，全世界的算法完全一致，沒有單位，也不受任何國家或地區規範的影響。

首先選擇要計算的函數：機率質量 f(x)（恰好出現 x 次成功的機率）、下累積機率 P(X ≤ x)，或上累積機率 Q(X ≥ x)。接著輸入試驗次數 n、每次試驗的成功機率 p（介於 0 到 1 之間），然後設定起始的成功次數（初始 x）、每一列之間的間隔（步長），以及要產生的列數。本工具會將所選函數列表呈現，並以長條相鄰的離散直方圖繪製出來。

機率質量函數為

其中 \binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x! (n-x)!} 是二項式係數。下累積機率 P(x) 是 f 從 t = 0 到 x 的總和；上累積機率 Q(x) 則是 f 從 t = x 到 n 的總和。為了避免 n 較大時階乘運算溢位，本計算器改用對數伽瑪函數來計算係數：此分布的平均數為 np，變異數為 np(1-p)。

當 n = 20、p = 0.25，計算 x = 0 到 12 的機率質量函數時：f(0) ≈ 0.003171、f(1) ≈ 0.021142、f(2) ≈ 0.066948、f(3) ≈ 0.133897、f(4) ≈ 0.189691、f(5) ≈ 0.202337。最高峰出現在 x = 5，恰好等於平均數

與理論預期完全吻合。

• 試驗：隨機實驗的單次重複，具有固定、明確定義的結果集合。
• 伯努利試驗：一個試驗，具有恰好兩個互斥的結果，通常標記為「成功」和「失敗」。
• 成功機率 p：單次試驗導致成功的機率，其中 0 ≤ p ≤ 1。假設在所有試驗中保持不變。
• 試驗次數 n：實驗中獨立伯努利試驗的固定數量，為非負整數。
• 成功次數 x：在 n 次試驗中觀察到的成功次數；x 是整數，0 ≤ x ≤ n。
• 機率質量函數 f(x)：給出恰好 x 次成功的機率的機率質量函數：f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}。
• 下累積機率 P(X≤ x)：累積分佈函數，至多 x 次成功的機率：P(X≤ x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)。
• 上累積機率 Q(X≥ x)：至少 x 次成功的機率：Q(X≥ x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X≤ x-1)。
• 二項式係數 \binom{n}{x}：從 n 次試驗中選擇 x 次成功的不同方式數量，\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x! (n-x)!}。
• 平均值 np：成功次數的期望值，\mu = np。
• 變異數 np(1-p)：成功次數計數的變異數，\sigma^{2}=np(1-p)；標準差為 \sigma=√(np(1-p))。

這三個量回答了關於同一實驗的三個不同問題：

• f(x) — 恰好 x：恰好獲得 x 次成功且沒有其他數量的機率。用於「恰好 k」的問題。
• P(X≤ x) — 至多 x：成功次數不超過 x 的機率。用於「至多 k」、「不超過 k」或「少於 k+1」的問題。
• Q(X≥ x) — 至少 x：x 次或更多次成功的機率。用於「至少 k」、「k 次或以上」或「超過 k−1」的問題。

將真實問題對應到函數。仔細翻譯措辭，注意邊界：

1. 「至少 k」 \Rightarrow Q(X≥ k)。
2. 「超過 k」 \Rightarrow Q(X≥ k+1) = 1 - P(X≤ k)。
3. 「至多 k」 \Rightarrow P(X≤ k)。
4. 「少於 k」 \Rightarrow P(X≤ k-1)。
5. 「在 a 和 b 之間（含端點）」 \Rightarrow P(X≤ b) - P(X≤ a-1)。

P/Q 重疊。由於 P(X≤ x) 和 Q(X≥ x) 都包含項 f(x)，它們在相同的 x 處不是互補的。實際上 P(X≤ x) + Q(X≥ x) = 1 + f(x)，所以兩個累積尾部恰好在一個點質量處重疊。Q(X≥ x) 的真實補集是 P(X≤ x-1)，而不是 P(X≤ x)。

常態近似。當 np 和 n(1-p) 都相當大時（常見的經驗法則是各 ≥ 5，理想情況下 ≥ 10），二項分佈被一個平均值 \mu = np 和標準差 \sigma = √(np(1-p)) 的常態分佈很好地近似。在將離散計數轉換為連續常態尺度時應用連續性修正（例如，使用 x+0.5 或 x-0.5）。對於具有小 p 的大 n（因此 np 保持適度），具有 \lambda = np 的卜瓦松分佈是更準確的近似。