什麼是二項分布百分位數計算器？
這個工具能反求二項分布 B(n, p) 的累積分布函數（CDF）。只要給定一個目標累積機率，它就會回傳達到該機率時所對應的數值 x，也就是百分位數。由於二項分布是離散型分布，計算結果會在相鄰的整數值之間進行連續內插，因此 x 通常不會剛好是整數。
使用方式
首先選擇累積模式：下尾累積 P 會將你輸入的機率視為 P(X ≤ x)；上尾累積 Q 則視為 P(X ≥ x)。接著輸入目標累積機率（介於 0 與 1 之間）、試驗次數 n，以及單次試驗的成功機率 p。計算器隨即會算出百分位數 x。
公式說明
機率質量函數為
f(x,n,p) = \binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{ n-x}.
下尾累積分布為 P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).
本工具會計算每個整數 k 的 F(k)，找出滿足 F(k-1) < P ≤ F(k) 的那個區間，再進行內插： x = (k-1) + ((P - F(k-1)) ÷ (F(k) - F(k-1))).
上尾模式則以互補的尾端機率 G(k) = P(X ≥ k) 用相同方式計算。
實際範例
假設 n = 20、p = 0.25、下尾累積 P = 0.3：由 CDF 可得 F(3) = 0.225156 與 F(4) = 0.414842。由於 0.3 落在這個區間內，所以
x = 3 + ((0.3 - 0.225156) ÷ (0.414842 - 0.225156)) = 3 + 0.394672 = 3.3947.
定義和詞彙表
二項分佈 B(n,p) 模型化 n 次獨立試驗中的成功次數 X，每次試驗的成功機率為 p。本計算器通過反演其累積分佈函數（CDF）來找到對應於所選累積機率的百分位點 x。
- 試驗次數 n
- 固定的獨立伯努利試驗次數。必須是正整數。在表單中，這是欄位 trials。
- 成功機率 p
- 單次試驗的成功機率，其中 0 ≤ p ≤ 1。同一值適用於每次試驗。在表單中，這是 successProbability。
- 機率質量函數（PMF）
- 恰好 k 次成功的機率：P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}，其中 k = 0,1,\dots,n。
- 累積分佈函數（CDF）
- PMF 至 k 的累積總和：F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X≤ k)。這是一個非遞減階跃函數，在每個整數處跳躍。
- 下累積 P = P(X ≤ x)
- 成功次數最多為 x 的機率。當您選擇下累積模式（cumulativeMode = lower）時，計算器返回最小的 x 使得 F(x) ≥ P。
- 上累積 Q = P(X ≥ x)
- 成功次數至少為 x 的機率。因為支撐集是離散的，P(X≥ x)=1-F(x-1)。在上累積模式中，計算器返回最小的 x 使得 P(X≥ x)≤ Q（等價地，最大的尾部其質量不超過 Q）。
- 百分位點 x
- 在所要求的累積機率處的成功計數——分位數或反演 CDF 值。例如，第 90 百分位是最小的 x 使得 F(x)≥ 0.90。
- 階跃內的插值
- 因為二項分佈的 CDF 是階跃函數，精確的目標機率通常落在兩個整數值 k-1 和 k 之間。線性插值估計連續百分位為 x ≈ (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}，其中 F(k)-F(k-1)=P(X=k)。整數百分位點本身始終為 k；插值只是報告的小數精細化。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
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📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
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🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 \(x\) 不是整數？
二項分布的 CDF 是一個階梯函數。為了回傳有意義的百分位數，本工具會在包含你目標機率的那個階梯區間內進行線性內插。
當 \(P = 1\) 時會怎樣？
此時涵蓋整個分布，因此 \(x\) 等於 \(n\)；而當 \(P = 0\) 時，\(x\) 等於 0。
如果 \(p = 0\) 或 \(p = 1\) 呢？
此時所有機率質量分別集中在 \(x = 0\) 或 \(x = n\)，百分位數也會反映出這種退化（degenerate）的情形。