🎲 Binomial Distribution Probability 計算機

這個工具會針對固定次數的獨立試驗，計算其二項分布。只要輸入成功次數 x、試驗次數 n，以及單次試驗的成功機率 p，它就會回傳恰好出現 x 次成功的機率（機率質量）、下累積機率、上累積機率，以及平均值。只要你重複進行相同的「是／否」實驗固定次數，且每次成功機率都維持不變，就適用二項模型，例如擲硬幣、批次中的不良品數量，或是純靠猜答對的測驗題目。

請輸入三個純數字。成功次數 x 與試驗次數 n 必須是整數，且須滿足 0 ≤ x ≤ n、n ≥ 1。機率 p 則須介於 0 與 1 之間。按下計算，就能一次取得四項結果。請注意，這是離散分布，因此主要的數值是機率質量（也就是真正的機率），而非機率密度。

機率質量為

其中 \binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x! (n-x)!} 是二項係數，用來計算在 n 次試驗中出現 x 次成功有多少種排列方式。下累積機率 P(X ≤ x) 是把 t 從 0 到 x 的 f(t) 加總；上累積機率 Q(X ≥ x) 則是把 t 從 x 到 n 的 f(t) 加總。由於 t=x 這個點同時被計入兩個總和，因此 P + Q - f(x) = 1。平均值就是

係數採用對數階乘計算，即使 n 很大也能保持數值穩定。

當 x = 9、n = 20、p = 0.4 時：\binom{20}{9} = 167960、p^{9} = 0.000262144，而 0.6^{11} ≈ 0.0036279706。因此

平均值為 20 × 0.4 = 8。加總後可得 P(X ≤ 9) ≈ 0.75534、Q(X ≥ 9) ≈ 0.40440，符合 0.75534 + 0.40440 - 0.15974 ≈ 1。

二項分佈模型化了在固定數量的獨立是/否實驗中成功的數量。以下術語在此計算器中出現。

• 試驗：實驗的單一重複，導致兩種可能的結果之一（例如一次擲硬幣）。
• 成功：你正在計數的結果，無論你如何定義它（正面、有缺陷的零件、正確的猜測）。其補集是「失敗」。
• n（試驗次數）：執行的獨立試驗總數。它必須是一個固定的正整數。
• x（成功次數）：你想要其概率的特定成功計數，其中 0 ≤ x ≤ n。
• p（成功的概率）：任何單一試驗成功的概率，一個介於0和1之間的十進制數。
• q = 1 − p（失敗的概率）：單一試驗失敗的概率。
• 二項係數 \binom{n}{x}：選擇 n 次試驗中哪 x 次成功的不同方式數，計算為 \binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x! (n-x)!}。
• 概率質量函數（pmf）、f(x)：恰好 x 次成功的概率，f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}。
• 下累積概率、P(X ≤ x)：至多 x 次成功的概率，即從0到 x 的pmf值之和。
• 上累積概率、P(X ≥ x)：至少 x 次成功的概率，即從 x 到 n 的pmf值之和。
• 平均值（期望值）、\mu = np：在多次重複上預期的平均成功次數。
• 變異數、\sigma^{2}=np(1-p)：分佈圍繞其平均值的擴散。
• 標準偏差、\sigma=√(np(1-p))：成功計數偏離平均值的典型偏差，以 x 的相同單位表示。

此計算器返回三個概率和平均值。選擇與你問題措辭相符的那個：

• pmf、f(x)=P(X=x) — 當你想要恰好 x 次成功的機會時使用，例如「10次擲硬幣中恰好5次正面」。
• 下累積、P(X ≤ x) — 用於至多 x 次（「x 次或更少」），例如「5個或更少正確答案」。
• 上累積、P(X ≥ x) — 用於至少 x 次（「x 次或更多」），例如「至少1個有缺陷的零件」。

注意累積部分在 x 處重疊：P(X ≤ x)+P(X ≥ x)=1+f(x)，因為兩個範圍都包含值 x 本身。若要取得嚴格少於 x，使用 P(X ≤ x-1)；若要嚴格多於 x，使用 P(X ≥ x+1)。

平均值 np 是預期的成功次數 — 如果你多次重複整個 n-試驗實驗的長期平均值。它不必是整數；期望值4.5只是簡單地描述一個平均值。

所有概率都報告為介於0和1之間的十進制數（乘以100得到百分比）。接近0的值意味著事件很罕見；接近1，幾乎確定。

這些結果只有在四個二項假設成立時才有效：

1. 固定的試驗次數 n，在觀察結果之前決定。
2. 每次試驗兩種結果 — 每次試驗要麼是成功，要麼是失敗。
3. 常數概率 p 每次試驗成功的概率。
4. 獨立性 — 一次試驗的結果不影響任何其他試驗。

如果試驗不獨立或 p 在試驗之間漂移（例如，從小總體無放回抽樣），二項模型只是一個近似值。