🎲 Binomial Expansion 計算機

這個計算機運用二項式定理，展開並計算任何形如 (a + b)^{n} 的式子，其中 n 為非負整數。它會回傳整個算式的數值結果、展開後的項數，以及每一項的符號結構。這是一個通用的數學工具，沒有任何地區或國家的限制，全球通用。

輸入第一項 a、第二項 b，以及指數 n（0 到 20）。a 與 b 都可以是正數、負數或分數。按下計算後即可看到結果。由於數值是依據二項式係數逐項計算而得，您可以對照畫面上顯示的各項結構，手動驗證每一項的部分結果。

二項式定理告訴我們，(a + b)^{n} 等於從 k = 0 到 n 的總和 \binom{n}{k}· a^{n-k}· b^{k}。

其中係數 \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}，代表從 n 個物件中選出 k 個的組合數，而這些係數正好構成巴斯卡三角形（Pascal's triangle）的每一列。展開式恆有 n + 1 項，a 的次方由 n 遞減到 0，b 的次方則由 0 遞增到 n。

以 (1 + 2)^{3} 為例：各項分別為 \binom{3}{0}· 1^3· 2^0 = 1、\binom{3}{1}· 1^2· 2^1 = 6、\binom{3}{2}· 1^1· 2^2 = 12，以及 \binom{3}{3}· 1^0· 2^3 = 8。加總後得到

恰好等於 3^3 = 27，驗證了展開結果正確無誤。

帕斯卡三角形的每一行 n 列出二項式係數 \binom{n}{k}，其中 k = 0, 1, 2, \dots, n。這些正是 (a+b)^n 展開式中出現的數值係數。沿著一行讀下去可以得到每一項的係數，從左邊的 a^n b^0 開始，到右邊的 a^0 b^n 結束。

每個元素都等於它上面兩個元素之和（例如，第 6 行的中間是 10 + 10 = 20）。第 6 行的中間係數也可以直接計算為 \binom{6}{3} = 20，而行總和 \sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n 確認 (a+b)^n 的展開式有 n+1 項。

每個展開式都使用 (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{ n-k} b^{ k} 並直接從帕斯卡三角形的相應行中提取係數。

例 1：(x-2)^4 — 交替符號

此處 a = x、b = -2、n = 4。帕斯卡三角形的第 4 行是 1, 4, 6, 4, 1。因為 b 是負數，-2 的冪次使符號交替變換：

1. \binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1· x^4 · 1 = x^4
2. \binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4· x^3 ·(-2) = -8x^3
3. \binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6· x^2 · 4 = 24x^2
4. \binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4· x ·(-8) = -32x
5. \binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1· 1 · 16 = 16

合併：(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16。

例 2：(2+3)^5 — 完全數值化

此處 a = 2、b = 3、n = 5，第 5 行是 1, 5, 10, 10, 5, 1：

1. \binom{5}{0}2^5 3^0 = 1· 32· 1 = 32
2. \binom{5}{1}2^4 3^1 = 5· 16· 3 = 240
3. \binom{5}{2}2^3 3^2 = 10· 8· 9 = 720
4. \binom{5}{3}2^2 3^3 = 10· 4· 27 = 1080
5. \binom{5}{4}2^1 3^4 = 5· 2· 81 = 810
6. \binom{5}{5}2^0 3^5 = 1· 1· 243 = 243

將各項相加：32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = 3125。作為檢驗，(2+3)^5 = 5^5 = 3125。

例 3：≤ft(1+\tfrac{1}{2}\right)^3 — 分數底數

此處 a = 1、b = \tfrac{1}{2}、n = 3，第 3 行等於 1, 3, 3, 1：

1. \binom{3}{0}1^3≤ft(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1· 1· 1 = 1
2. \binom{3}{1}1^2≤ft(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3· 1·\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}
3. \binom{3}{2}1^1≤ft(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3· 1·\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}
4. \binom{3}{3}1^0≤ft(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1· 1·\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}

將各項相加：1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = 3.375。這符合 ≤ft(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}。

二項式係數 \binom{n}{k}

展開式中每一項的乘數，讀作「n 取 k」。它計算從 n 個中選擇 k 個的方法數，計算方式為 \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}。例如，\binom{5}{2} = 10。

指數 n

二項式 (a+b) 所被提升的整數次冪。它設定最高次冪並確定展開式恰好有 n+1 項。

項

展開結果的一個加數部分，形式為 \binom{n}{k} a^{ n-k} b^{ k}。單個項中 a 和 b 的指數總是相加得 n。

底數項 a 和 b

括號內被相加的兩個量。它們可以是數字、變數、分數或負值；例如在 (x-2)^4 中，a = x 且 b = -2。

階乘 n!

所有正整數直至 n 的乘積：n! = n×(n-1)×·s× 2× 1，其中根據定義 0! = 1。例如，5! = 120。階乘是每個二項式係數公式的基礎。

帕斯卡三角形

一個三角形陣列，其中第 n 行列出係數 \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}。每個內部元素是它上面兩個元素之和，提供了一種快速讀取二項式係數的方法，而無需計算階乘。