🎲 Binomial Expansion Coefficients 計算機

這個工具會運用二項式定理展開 (a + b)^{n} 這個算式。它會回傳算式的數值結果、展開後的項數，以及一份完整清單，列出每一個二項式係數 C(n,k) 與對應的各項。計算器支援 0 到 20 之間任意非負整數次方，a 與 b 也可以是任意實數係數。

輸入第一項係數 a、第二項係數 b，以及次方 n，接著按下計算。上方主結果框會顯示 (a + b)^{n} 的總值，下方表格則會列出項數，以及所有展開項的總和（這個總和必定等於主結果的數值）。展開清單會逐一列出每個係數與每一項，方便你核對自己的代數運算。

二項式定理指出，(a + b)^{n} 等於 k 從 0 到 n 的總和：C(n,k) · a^{n-k} · b^{k}。這些係數 C(n,k) 正好構成巴斯卡三角形（楊輝三角）的一列。

我們以遞迴式 C(n,k) = C(n,k-1) · (n - k + 1) / k 來高效計算，避免處理龐大的階乘數字。

以 (1 + 1)^{4} 為例：係數分別是 1、4、6、4、1。由於 a = b = 1，每一項的值都等於其係數，因此展開結果為

帕斯卡三角形的第 n 行列出二项式系数 \binom{n}{k}，其中 k = 0, 1, \dots, n。这些正是展开 (a+b)^n 时出现的系数。每个内部项都等于它正上方的两个项的和，每一行中的项和为 2^n。

例如，第 10 行的中间系数是 252，位于 k=5。每一行都是对称的，因为 \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}。

例 1：(x+2)^3

这里 a=x，b=2，n=3。第 3 行的系数为 1, 3, 3, 1。代入 \sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}：

x 的幂次从 3 递减到 0，而 2 的幂次从 0 递增到 3。

例 2：(2a-b)^4 — 交替符号

将减法写成 b \to -b，所以底数项为 2a 和 -b，n=4，系数为 1, 4, 6, 4, 1：

因为当 k 为奇数时 (-b)^k 为负，当 k 为偶数时为正，符号交替为 +,-,+,-,+。

例 3：(x+1)^6 — 显式递增递减幂次

当 a=x，b=1，n=6 时，第 6 行的系数为 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。由于 1 的每个幂都是 1，系数直接出现：

中间系数 20 等于 20，即 \binom{6}{3}。x 的指数在七项中从 6 递减到 0。

a — 第一个底数项

二项式 (a+b)^n 中的第一个量。在每个展开项中，它被提升至递减幂 a^{n-k}。

b — 第二个底数项

二项式中的第二个量。它被提升至递增幂 b^{k}。对于减法 (a-b)^n，将 b 视为负数，以便符号交替。

n — 指数（次数）

二项式被提升的幂。对于非负整数 n，展开式恰好有 n+1 项，n 选择帕斯卡三角形的第 n 行。

k — 求和指标

在 \sum_{k=0}^{n} 中从 0 运行到 n 的计数器。它标识每项的位置，并设置幂 a^{n-k}b^{k}。

\binom{n}{k} — 二项式系数

读作"n 选 k"，计算为 \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}。它是具有指标 k 的项上的数值乘数（也是从 n 个项中选择 k 个项的方法数）。

单个项

形式为 \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} 的一个完整求和项：一个系数乘以 a 的幂和 b 的幂，其指数总是加起来等于 n。