🎲 Binomial Expansion Term 計算機

這個計算器能在 (a + b)^n 的二項展開式中，直接求出某一個指定的項，而不必把整個式子完全展開。不論你要找的是第 5 項、常數項，還是某個特定次方的係數，通項公式都能一步算出答案。這是一個通用的數學工具——適用於任何地區，沒有任何國家或地區的特殊規則限制。

請輸入第一項底數 a、第二項底數 b、指數 n，以及項次位置 k（第一項填 1、第二項填 2，依此類推）。計算器會回傳二項式係數 C(n, r)、該項的數值，以及對應的次方。請注意，第 k 項所對應的 r = k - 1。

(a + b)^n 展開式的通項為：

其中 C(n, r) = \dfrac{n!}{r! (n-r)!} 即為二項式係數。第 k 項對應 r = k - 1，因此第一項的 r = 0，最後一項的 r = n。兩個指數的總和恆等於 n：(n - r) + r = n。

求 (2 + 3)^4 的第 3 項。此時 a = 2、b = 3、n = 4、k = 3，所以 r = 2。係數為 C(4, 2) = 6。該項即為

下列條目是二項式係數 \binom{n}{r}。若要找出展開式的第 k 項，請沿著第 n 行讀取，並取第 r=k-1 欄中的值（欄數從 0 開始編號）。例如，(a+b)^6 的第 4 項使用 r=3，得到 \binom{6}{3}=20。

每一項都等於其上方兩項之和，每一行都是對稱的：\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}。

a — 第一項（底數）

二項式 (a+b)^n 內的首項表達式。在每一項中，它被提升到 n-r 次方。

b — 第二項（底數）

二項式內的末項表達式。在每一項中，它被提升到 r 次方。它可能是負數或倒數（例如 1/x）；其符號和形式會帶入該項的值。

n — 指數（次數）

二項式被提升的次數。完整展開式有 n+1 項，每一項中 a 和 b 的指數總和始終等於 n。

k — 項數

您想要的項所在的位置，從 1 開始計數（第一項 a^n 是 k=1）。有效值的範圍從 1 到 n+1。

r — 係數索引

用於二項式係數和次數的零基索引，定義為 r=k-1。它也是 b 的次數。

T_{r+1} — 通項

展開式第 (r+1) 項的公式：T_{r+1}=\binom{n}{r} a^{ n-r} b^{ r}。設定 r=k-1 可得到第 k 項。

\binom{n}{r} — 二項式係數

讀作「n 選 r」，它計算從 n 中選擇 r 個項目的方式數，計算公式為 \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r! (n-r)!}。它是該項的數值係數（不包括 a 或 b 的符號）。