什麼是二項分布機率計算器？
這個計算器能算出在 n 次獨立試驗中，恰好出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率都相同，記為 p。許多情境都符合這種模式——例如丟硬幣、罰球命中、生產線上的瑕疵品，或是問卷中「是/否」的回答——這類問題都可以用二項分布來描述。除了精確機率之外，本工具還會一併提供累積機率 P(X≤ k) 與 P(X≥ k)，以及該分布的平均數、變異數與標準差。
如何使用
輸入試驗次數 n（正整數）、你想關注的成功次數 k（介於 0 與 n 之間），以及單次試驗的成功機率 p（介於 0 與 1 的小數，例如公正硬幣為 0.5）。按下計算後，即可看到恰好出現 k 次成功的機率，以及相關的統計摘要。
公式解析
二項分布的機率質量函數為
範例演算
假設丟一枚公正硬幣 10 次（n=10、p=0.5），想知道恰好出現 3 次正面（k=3）的機率。由於 \binom{10}{3}=120，因此
如何手工計算二項概率
給定 n 次獨立試驗，每次成功概率為 p，恰好成功 k 次的概率分四個步驟計算。
- 計算排列數（二項係數）。計算 \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k! (n-k)!}，即從 n 次試驗中選擇 k 次成功的不同方式數。例如 \binom{10}{8}=45。
- 提高成功概率。計算 p^{k} — 這 k 個被選中的試驗全部成功的概率。
- 提高失敗概率。計算 (1-p)^{n-k} — 剩餘 n-k 次試驗全部失敗的概率。
- 將三個因子相乘。P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}。
對於累積概率，對各個項求和：P(X≤ k)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}，以及 P(X≥ k)=1-P(X≤ k-1)。
分佈的統計摘要
對於二項分佈，您還可以報告：
- 均值：\mu = np
- 方差：\sigma^{2} = np(1-p)
- 標準差：\sigma = √(np(1-p))
示例：對於 n=10,\ p=0.8，均值為 \mu=10×0.8=8，方差為 \sigma^{2}=10×0.8×0.2=1.6，標準差為 \sigma=√(1.6)≈1.265。
關鍵術語與變數
| 術語 | 符號 | 含義 |
|---|---|---|
| 試驗次數 | n | 獨立且相同的伯努利試驗的固定計數（例如 10 次罰球、20 個取樣零件）。 |
| 成功次數 | k | 您想要求其概率的「成功」結果的確切次數，其中 0≤ k≤ n。 |
| 成功概率 | p | 任何單次試驗成功的概率，介於 0 到 1 之間；失敗概率為 1-p。 |
| 二項係數 | \binom{n}{k} | 「n 選 k」— 從 n 次試驗中選擇哪 k 次成功的方式數：\dfrac{n!}{k!(n-k)!}。 |
| 概率質量函數 (PMF) | P(X=k) | 恰好 k 次成功的概率：\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}。 |
| 累積概率（下側） | P(X≤ k) | k 次或更少成功的概率 — 概率質量函數從 0 到 k 的和。 |
| 累積概率（上側） | P(X≥ k) | k 次或更多成功的概率，等於 1-P(X≤ k-1)。 |
| 均值（期望值） | \mu=np | 在重複進行 n 次試驗多次時，預期的平均成功次數。 |
| 方差 | \sigma^{2}=np(1-p) | 成功次數圍繞均值分佈的度量。 |
| 標準差 | \sigma=√(np(1-p)) | 方差的平方根，以與成功次數計數相同的單位表示。 |
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。