什麼是二項分布機率計算器？
這個計算器可以算出在 n 次獨立試驗中，恰好出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率 p 都相同。像是固定次數的擲硬幣、計算一批產品中的瑕疵品數量，或統計球員罰球命中幾次，這些情境都符合二項分布的特性。
如何使用
輸入試驗次數（n）、你想觀察的成功次數（k），以及單次試驗的成功機率（p，介於 0 到 1 之間）。計算器會回傳恰好出現 k 次成功的精確機率 P(X = k)、兩個累積機率 P(X ≤ k) 與 P(X ≥ k)，以及此分布的平均數和標準差。
公式解析
二項分布機率公式如下：
其中 C(n,k) 是二項式係數（也就是在 n 次試驗中安排 k 次成功的所有組合數），p^{k} 代表這 k 次成功的機率，而 (1 - p)^{ n - k} 則是剩下 n − k 次失敗的機率。此分布的平均數為 n · p，標準差為 √(n · p · (1-p))。
實際範例
假設你擲一枚公正硬幣 10 次（n = 10，p = 0.5），想知道恰好出現 3 次正面的機率（k = 3）。由於 C(10,3) = 120，因此
更多作業範例
每個範例都使用二項機率公式 P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}，其中 n 是獨立試驗的次數，p 是每次試驗的成功機率，k 是感興趣的成功次數。
範例 1 — 不良品，P(X ≤ 2)
某批貨物的不良率為 p = 0.05。在隨機抽樣 n = 20 個物品中，至多 2 個不良的機率是多少？我們需要 P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2)。
- P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 · 1 · 0.358486 = 0.358486
- P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 · 0.05 · 0.377354 = 0.377354
- P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 · 0.0025 · 0.397214 = 0.188677
注意 \binom{20}{2} = 190。將三項相加：
因此，恰好有 2 個不良品的機率約為 0.188677，而 2 個或更少不良品的機率約為 92.5%。該分佈的平均數為 \mu = np = 20 · 0.05 = 1 個不良品，標準差為 \sigma = √(np(1-p)) = √(20 · 0.05 · 0.95) = √(0.95) ≈ 0.9747。
範例 2 — 罰球，P(X ≥ 4)
某球員的罰球成功機率為 p = 0.8，投籃 n = 5 次。投中至少 4 次的機率是多少？我們需要 P(X ≥ 4) = P(4) + P(5)。
- P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 · 0.4096 · 0.2 = 0.4096
- P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 · 0.32768 · 1 = 0.32768
此處 \binom{5}{4} = 5 且 \binom{5}{5} = 1。相加得：
該球員在 5 次投籃中至少投中 4 次的機率約為 73.7%。投中的期望個數為 \mu = np = 5 · 0.8 = 4，標準差為 \sigma = √(5 · 0.8 · 0.2) = √(0.8) ≈ 0.8944。單一最可能的結果為 P(X = 4) =0.4096。
範例 3 — 調查回應，精確值
假設 30% 的人 (p = 0.3) 認識某品牌，你調查了 n = 10 個人。恰好 3 人認識它的機率為：
其中 \binom{10}{3} = 120，結果為 P(X=3) ≈ 0.266828。平均數為 \mu = np = 3 人認識，與最可能的計數相符，標準差為 \sigma = √(10 · 0.3 · 0.7) ≈ 1.449。
重要術語和變量
| 符號/術語 | 意義 |
|---|---|
| n — 試驗次數 | 實驗的固定獨立重複總數（例如檢查的物品數、投籃次數）。必須為非負整數。 |
| k — 成功次數 | 你想求機率的特定成功結果計數，其中 0 ≤ k ≤ n。 |
| p — 成功機率 | 任何單一試驗的成功機率，每次試驗都相同。介於 0 至 1 之間的值。 |
| q = 1 - p — 失敗機率 | 單次試驗的失敗機率。由於每次試驗結果要麼成功要麼失敗，所以 p + q = 1。 |
| \binom{n}{k} — 二項係數 | 在 n 次試驗中選擇 k 次成功的不同方式數，讀作「n 選 k」：\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}。 |
| P(X = k) — 精確機率 | 恰好得到 k 次成功的機率：\binom{n}{k} p^{k} q^{ n-k}。 |
| P(X ≤ k) — 累積機率（至多） | 至多 k 次成功的機率，即和 P(0) + P(1) + \dots + P(k)。 |
| P(X ≥ k) — 累積機率（至少） | 至少 k 次成功的機率，等於 1 - P(X ≤ k-1)。 |
| \mu = np — 平均數 | 在多次重複 n 次試驗實驗的情況下，成功次數的期望值（平均值）。 |
| \sigma = √(np(1-p)) — 標準差 | 衡量成功次數圍繞平均數的變異程度。 |
解讀你的結果
二項計算器可以回答三個相關但不同的問題，重要的是將輸出結果與你實際提出的問題相匹配。
- 精確機率，P(X = k)：恰好得到 k 次成功的機率 — 不多也不少。用於「恰好有 3 個缺陷的機率是多少？」之類的問題。由於它確定了單一結果，此值通常小於下面的累積機率。
- 至多，P(X ≤ k)：至多 k 次成功的機率。它將 0, 1, …, k 的機率相加。用於「不超過」、「至多」或「小於或等於」的措詞。
- 至少，P(X ≥ k)：至少 k 次成功的機率。一個方便的快速公式是 P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)。用於「至少」、「不少於」或「最少」的措詞。
要注意邊界：「超過 k」表示 P(X ≥ k+1)，「少於 k」表示 P(X ≤ k-1)。一個詞的改變會改變哪些項被相加。
平均數 \mu = np 是成功次數的期望值 — 如果你多次重複整個 n 次試驗實驗，長期的平均計數。對於 n = 20 個物品在 p = 0.05 的情況下，你平均預期 \mu = 1 個缺陷，儘管任何單一樣本可能有 0、1、2 或更多個。平均數也是（接近）最可能的單一結果，所以比較你的 k 與 np 會告訴你是在問一個典型結果還是不尋常的結果。
標準差 \sigma = √(np(1-p)) 描述了結果圍繞平均數的分佈範圍。大多數結果落在 np 的大約一至兩個標準差範圍內。當 k 偏離平均數幾個標準差時，相應的機率很小，這正是為什麼「尾部」事件感覺令人驚訝。當 n 很大且 p 不接近 0 或 1 時，二項分佈近似於具有相同平均數和標準差的常態分佈，允許對累積機率進行常態曲線近似。
這是幫助你讀懂輸出的一般統計資訊；在依賴結果之前，請始終確認你的情景符合二項分佈的假設（固定數量的獨立試驗、每次試驗的兩種結果和恆定的成功機率）。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。