什麼是二項分布機率？
二項分布機率所計算的，是在固定的 n 次獨立試驗中，恰好出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率都相同，皆為 p。只要是在相同條件下重複進行的「成功／失敗」二選一實驗，都適用此公式——例如擲硬幣、罰球命中、生產線上的瑕疵品判定，或是問卷調查的回應比例。
計算機怎麼用？
請依序輸入試驗次數（n）、你想求機率的成功次數（k），以及每次試驗的成功機率（p，請以 0 到 1 之間的小數表示）。計算機會回傳精確的機率 P(X=k)、換算成百分比的數值，以及計算過程中使用到的二項式係數 C(n,k)。
公式解析
公式
實例演算
假設擲一枚公正硬幣 10 次（n=10，p=0.5），請問恰好出現 4 次正面（k=4）的機率是多少？由於 C(10,4) = 210，因此
如何手工計算二項概率
按照以下步驟計算任何有效輸入的 P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}。
- 驗證 k ≤ n。成功次數 k 不能超過試驗次數 n，且兩者都必須是非負整數。如果 k > n，則概率為 0。還要確認 0 ≤ p ≤ 1。
- 計算二項係數 \binom{n}{k}。使用 \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}。這用來計算在 n 次試驗中安排 k 次成功的不同方式數量。
- 將 p 提升到 k 次方。計算 p^{k}，即 k 次特定成功發生的概率。
- 將 (1-p) 提升到 n-k 次方。計算 (1-p)^{n-k}，即剩餘 n-k 次試驗全部失敗的概率。回想 q = 1-p。
- 將所有三個因子相乘。P(X=k) = \binom{n}{k} × p^{k} × (1-p)^{n-k}。結果是介於 0 和 1 之間的概率。
- 轉換為百分比（可選）。將概率乘以 100 以將其表示為百分比，例如 0.31146 × 100 = 31.15%。
已驗證的例子：對於 n=5, k=3, p=0.5：\binom{5}{3}=10，0.5^{3}=0.125，0.5^{2}=0.25，所以 P = 10 × 0.125 × 0.25 = 0.3125（31.25%）。
關鍵術語和變數
| 符號 | 名稱 | 含義 |
|---|---|---|
| n | 試驗次數 | 固定的獨立實驗或嘗試的總次數。 |
| k | 成功次數 | 成功結果的確切計數，即您想要其概率的計數；必須滿足 0 ≤ k ≤ n。 |
| p | 成功概率 | 任何單次試驗成功的概率；0 ≤ p ≤ 1。 |
| q | 失敗概率 | 單次試驗失敗的概率，q = 1 - p。 |
| \binom{n}{k} | 二項係數 | 從 n 次試驗中選擇 k 次成功的方式數量，\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n-k)!}；讀作「n 選 k」。 |
四項二項假設
只有當四個條件全部成立時，二項模型才有效：
- 試驗次數固定。n 的值事先設定且不會改變。
- 兩種可能的結果。每次試驗恰好產生兩種結果之一，慣例上標記為「成功」和「失敗」。
- 恆定的概率。成功概率 p 在每次試驗上都相同。
- 獨立的試驗。任何一次試驗的結果不會影響任何其他試驗的結果。
當這些條件成立時，成功次數 X 遵循二項分佈，寫作 X \sim B(n, p)。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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