🎲 Binomial Product 計算機

FOIL 是用來展開兩個二項式相乘的口訣，分別代表 First（前項）、Outer（外項）、Inner（內項）、Last（後項）。只要依序套用，就能確保第一個二項式的每一項都和第二個二項式的每一項相乘，不會漏算。這個計算機會接收 (a + b) 與 (c + d) 這兩個二項式中的四個數字 a、b、c、d，並列出每一項的部分乘積，以及完整展開後的結果。

請輸入每個二項式的兩個項。舉例來說，若要展開 (2x + 3)(x - 4)，就設定 a = 2、b = 3、c = 1、d = -4。計算機會把 a 與 c 視為 x 的係數，因此答案會以二次式的形式呈現：a c· x^{2} + (a d + b c)· x + b d。如果只是純數字相乘，直接讀取 F／O／I／L 四個乘積再相加即可。

根據分配律可得

展開 (2x + 3)(x + 4)：F = 2· 1 = 2、O = 2· 4 = 8、I = 3· 1 = 3、L = 3· 4 = 12。把中間兩項合併：8 + 3 = 11。最後得到

每個示例都使用 FOIL 模式 (ax+b)(cx+d)=ac x^2+(ad+bc)x+bd。觀察符號如何在每個乘積中進行。

示例 1：負項 — (x-5)(x+2)

這裡 a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2。

• 首項： x· x = x^2
• 外項： x· 2 = 2x
• 內項： -5· x = -5x
• 末項： -5· 2 = -10

合併相似的中間項 2x-5x=-3x：

您可以使用因式分解計算器確認三項式 x^2-3x-10 能分解回這些二項式。

示例 2：平方差 — (x+3)(x-3)

這裡 a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3。

• 首項： x· x = x^2
• 外項： x·(-3) = -3x
• 內項： 3· x = 3x
• 末項： 3·(-3) = -9

外項和內項相消：-3x+3x=0，得到

這說明了平方差公式 (x+n)(x-n)=x^2-n^2。

示例 3：完全平方 — (2x+1)^2

改寫為 (2x+1)(2x+1)，所以 a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1。

• 首項： 2x· 2x = 4x^2
• 外項： 2x· 1 = 2x
• 內項： 1· 2x = 2x
• 末項： 1· 1 = 1

合併 2x+2x=4x：

這符合完全平方公式 (mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2。

FOIL 是一種有序的方式，將分配律應用於兩個二項式 (ax+b)(cx+d)。這些字母代表首項、外項、內項、末項——您要相乘的四對項。

1. 相乘首項。相乘每個二項式的首項：ax· cx = ac x^2。這給出平方項。
2. 相乘外項。相乘表達式外側的兩項：ax· d = ad x。
3. 相乘內項。相乘內側的兩項：b· cx = bc x。
4. 相乘末項。相乘每個二項式的末項：b· d = bd。這是常數項。
5. 合併相似的中間項。外項和內項乘積都含有 x，所以相加：ad x + bc x = (ad+bc)x。這裡要特別注意符號。
6. 將結果寫成 ax^2+bx+c 的形式。按標準順序組合三個部分：
   ac x^2 + (ad+bc)x + bd.

提示：如果兩個二項式相同（完全平方）或是共軛如 (x+n)(x-n)，中間項要麼相加要麼相消——這是驗證您正確合併它們的快速檢查。

二項式

一個正好有兩項的多項式，由加號或減號連接，例如 x+3 或 2x-5。

三項式

一個正好有三項的多項式，例如 x^2-3x-10。將兩個二項式相乘通常會產生三項式。

係數

在一項中相乘變數的數值因子。在 2x 中係數是 2；像 x^2 這樣的項有隱含的係數 1。

項

一個單獨的數字、變數或數字和變數的乘積，由其他項用 + 或 - 分隔。在 x^2-3x-10 中的項是 x^2、-3x 和 -10。

FOIL

一個助記符——首項、外項、內項、末項——代表將兩個二項式相乘時形成的四個乘積。這是分配律的特殊情況。

相似項

具有相同變數且變數乘以相同冪次的項，因此可以相加或相減。外項和內項乘積 ad x 和 bc x 是相似項，合併為 (ad+bc)x。

分配律

規則 p(q+r)=pq+pr。FOIL 將其應用兩次，使第一個二項式中的每一項都與第二個二項式中的每一項相乘。