什麼是精確二項檢定？
精確二項檢定用來判斷：在固定次數、彼此獨立的「是／否」試驗中，觀察到的成功次數是否符合某個假設的成功機率。和常態近似（normal approximation）不同，它直接從二項分配計算 p 值，因此即使樣本數很小也能維持準確。這項工具具有通用性，適用於任何二元實驗，例如擲硬幣、轉換率、不良品數量，或合格／不合格資料。
如何使用本計算機
輸入成功次數 k、試驗總次數 n，以及假設的成功機率 p（介於 0 與 1 之間）。計算機會回傳雙尾 p 值、觀察到該次數的機率、期望成功次數，以及兩個單尾 p 值。
公式說明
每一種結果 x 的機率為
實例演算
假設你擲硬幣 10 次，出現 8 次正面，想檢定這枚硬幣是否公正（p = 0.5）。恰好出現 8 次正面的機率為
解釋您的結果
精確二項檢驗將觀察到的 n 次獨立試驗中的成功次數 k 與假定的成功機率 p 進行比較。P 值回答了一個簡單的問題：如果零假設為真，出現至少與您觀察到的結果一樣極端的結果的可能性有多大？
雙側與單側
雙側 P 值測試真實機率是否在任何方向上與 p 不同。它將所有似然度小於或等於觀察到的 k 的結果的機率相加（此計算器和 R 的 binom.test 使用的方法）。當您沒有先前的理由預期高或低結果時，請使用此方法。
單側 P 值測試定向聲明 — 例如「真實機率大於 p」。它只在您指定的尾部求和機率。單側 P 值大約是雙側值的一半，因此請在看到資料之前選擇方向，絕不要在之後選擇。
顯著性水準 (Alpha)
閾值 \alpha 是您願意容忍的假正例率。常見選擇是 \alpha = 0.05 和更嚴格的 \alpha = 0.01。您將 P 值與 \alpha 進行比較：
- 如果 P 值 ≤ \alpha：拒絕零假設 — 資料與 p 的不一致性足以稱為統計上顯著。
- 如果 P 值 > \alpha：未能拒絕零假設 — 資料與 p 相容。
「未能拒絕」的含義與不含義
「未能拒絕」只意味著您缺乏針對零假設的充分證據。它不能證明零假設為真。即使真實機率與 p 不同，小樣本也可以輕鬆產生非顯著結果；證據的缺乏不是不存在的證據。為了衡量資料確實支持的內容，請將檢驗與效果估計和比例的信賴區間配對。
定義與詞彙表
- 成功次數 (k)
- 具有感興趣結果的試驗的觀察計數。整數，其中 0 ≤ k ≤ n。
- 試驗次數 (n)
- 獨立伯努利試驗的總數，每次具有相同的成功機率。
- 假定的機率 (p)
- 零假設下假定的成功機率，0 ≤ p ≤ 1。例如，硬幣的公正性對應於 p = 0.5。
- 零假設 (H₀)
- 被測試的預設聲明：真實成功機率等於 p，即 H_0: π = p。
- 對立假設 (H₁)
- 如果 H₀ 被拒絕則接受的聲明：π \ne p（雙側），或 π > p / π < p（單側）。
- P 值
- 在 H₀ 下計算的獲得至少與觀察到的 k 一樣極端的結果的機率。較小的值提供了針對 H₀ 的更強證據。
- 雙側檢驗
- 通過對所有不超過觀察到的結果可能性的結果求和，檢測到任何方向上與 p 的偏差。
- 單側檢驗
- 檢測單個預先指定方向的偏差。
- 預期計數 (np)
- 在 H₀ 下預期的成功次數，np。將 k 與 np 進行比較可顯示偏差的方向和大致規模。
- 顯著性水準 (Alpha)
- 預先選擇的截止 \alpha（通常為 0.05 或 0.01），對此進行 P 值判斷；它是第一類錯誤的最大可接受機率。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。