🎲 Binomial Theorem 計算機

二項式定理提供了一種快速展開 (a+b)^n 這類算式的方法，不必逐項相乘慢慢計算。它指出展開後會是 n+1 項的總和，每一項都由一個二項式係數，搭配兩個項各自遞減與遞增的次方所組成：

其中 a 與 b 是兩個項，n 是非負整數次方，而 \binom{n}{k} 則是二項式係數，同時也出現在巴斯卡三角形（帕斯卡三角形）之中。

輸入第一項 a、第二項 b，以及整數次方 n。計算機會回傳 (a+b)^n 的總值，並附上一份完整的逐項明細表，列出每一項的索引 k、其係數 \binom{n}{k}、次方 a^{n-k} 與 b^{k}，以及該項計算後的數值。無論你只是想快速得到答案，還是想弄懂每一項是怎麼來的，都能派上用場。

每個係數都以 \binom{n}{k} = (( {n!}) ÷ (k! (n-k)!)) 計算。為了避免重複計算階乘，計算機改用遞迴的方式逐步建立係數：\binom{n}{k+1} = \binom{n}{k}×((n-k) ÷ (k+1))，如此可確保每個值都維持為精確的整數。

試著展開 (2+3)^2。當 n=2 時，共有三項：

結果與 5^2 = 25 相符，驗證了展開式正確無誤。

(a + b)^n을 전개할 때 나타나는 이항계수 \binom{n}{k}는 정확히 파스칼의 삼각형의 항목들입니다. 행 n은 n제곱의 전개식에 대한 계수를 포함하며, 왼쪽의 k = 0에서 오른쪽의 k = n까지 읽습니다. 행 n은 항상 n + 1개의 항목을 가지며, 모든 행은 1로 시작하고 1로 끝납니다. 각 내부 항목은 그 위에 직접 있는 두 항목의 합이며, 이는 항등식 \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}를 다시 나타냅니다.

각 행이 앞뒤로 같게 읽힌다는 점에 주목하세요. 이것이 대칭성 성질 \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}입니다: b를 기여하는 k개의 인수를 선택하는 것은 a를 기여하는 n - k개의 인수를 선택하는 것과 동등합니다. 행 n의 항목들의 합은 또한 2^n이며, 이는 (1 + 1)^n의 값입니다.

아래의 각 전개식은 파스칼의 삼각형의 해당 행에서 계수를 사용하며, 첫 번째 항의 지수는 n에서 0으로 내려가고 두 번째 항의 지수는 0에서 n으로 올라갑니다.

예제 1: (x + y)^3

행 3은 계수 1, 3, 3, 1을 제공합니다. a = x, b = y, n = 3을 대입하면:

x의 지수는 3, 2, 1, 0으로 내려가고 y의 지수는 0, 1, 2, 3으로 올라가며, 각 쌍의 합은 3입니다.

예제 2: (a - 2)^4 — 음수 두 번째 항

이항식을 (a + (-2))^4로 쓰면 두 번째 항은 b = -2입니다. 행 4는 계수 1, 4, 6, 4, 1을 제공합니다:

-2의 거듭제곱을 계산하면 (-2)^2 = 4, (-2)^3 = -8, (-2)^4 = 16을 얻습니다:

b가 음수이므로 부호가 교대로 나타납니다: +, -, +, -, +. b의 홀수 거듭제곱을 가진 모든 항은 음수이고, b의 짝수 거듭제곱을 가진 모든 항은 양수입니다.

예제 3: (1 + 0.5)^3 — 수치 확인

a = 1, b = 0.5, n = 3일 때, 계수는 다시 1, 3, 3, 1입니다:

항들을 더하면 (1 + 0.5)^3 = 3.375를 얻습니다. 이는 직접 계산 1.5^3 = 3.375와 일치하여 전개식을 확인합니다.