🧮 Biot Number 計算機

畢歐數（Biot number，Bi）是暫態熱傳導分析中常用的無因次參數。它比較的是物體「內部熱傳導阻力」與「表面對流阻力」兩者之間的相對大小。當畢歐數很小時，代表物體內部傳導熱量的速度遠快於表面散熱的速度，因此在加熱或冷卻過程中，整個物體的溫度幾乎維持均勻一致。

只要輸入三個數值即可：對流熱傳係數 h（W/m²·K）、特徵長度 Lc（m），以及固體的熱傳導係數 k（W/m·K）。計算器會自動算出

並告訴你常用的「集總熱容法（lumped-capacitance）」近似是否適用。

核心公式為

特徵長度 L_c 通常以體積除以表面積（V/A）來計算：單側冷卻、厚度為 L 的平板，其 L_c 等於 L；半徑為 r 的球體為 r/3；長圓柱則為 r/2。當 Bi < 0.1 時，物體內部的溫度梯度可忽略不計，便能將整個物體視為單一的集總節點來處理。

假設一個金屬零件，h = 10 W/m^2·K、L_c = 0.05 m、k = 200 W/m·K，則

由於 0.0025 < 0.1，因此集總熱容法成立，可放心使用。

對於集中容量分析，特徵長度定義為固體體積與其暴露於對流表面積的比值，L_c = V/A_s。使用這個一致的定義能保持Biot數準則 (Bi<0.1) 在不同形狀間直接可比。有些教科書改為在單項級數和Heisler圖表解中使用完整半徑或半厚度；下面顯示了兩種約定。

幾何形狀	定義尺寸	L_c = V/A_s	導熱長度約定
平板，兩面冷卻	厚度 2L	L	半厚度 L
平板／板片，一面絕緣	厚度 L	L	厚度 L
長圓柱（半徑 r）	半徑 r	r/2	半徑 r
球體（半徑 r）	半徑 r	r/3	半徑 r
立方體（邊長 a）	邊長 a	a/6	半邊長 a/2

計算驗證：對於半徑 r=0.02 m 的球體，L_c = r/3 = 0.02/3 ≈ 0.00667 m。對於相同半徑的長圓柱，L_c = r/2 = 0.01 m。

Biot數比較了內部導熱阻抗 (L_c/k) 與外部對流阻抗 (1/h)。它告訴你固體是以幾乎均勻的內部溫度加熱或冷卻，還是存在顯著的內部溫度梯度。

Biot範圍	物理意義	推薦分析方法
Bi<0.1	內部導熱阻抗可忽略不計；在任何時刻，物體的溫度本質上是均勻的。	集中容量模型有效；使用指數衰減 θ/θ_0 = e^{-t/\tau}，其中 \tau = \rho V c_p / (h A_s)。
0.1<Bi<\sim 10	存在有限的內部溫度梯度；兩種阻抗都不佔絕對優勢。	使用單項近似或Heisler／暫態導熱圖表解，適用於相應的幾何形狀。
Bi>\sim 10	對流阻抗可忽略不計；表面溫度本質上被固定在流體溫度。	導熱控制；將表面視為等溫邊界條件 (T_s ≈ T_\infty)。

廣泛使用的工程閾值 Bi=0.1 將集中容量誤差保持在溫度的約5%以下。在此值以下，簡單的單節點模型既方便又準確。

對流傳熱係數，h (W/m²·K)

固體表面與周圍流體之間單位面積單位溫度差的熱交換速率。強制對流及液體比靜止空氣的數值更大。

特徵長度，L_c (m)

固體的幾何尺度，對於集中分析定義為 L_c = V/A_s。它代表熱必須進行內部導傳的典型距離。

固體的熱導率，k (W/m·K)

固體導熱的內在能力。注意Biot數中的 k 是固體的熱導率，而非周圍流體的。

Biot數，Bi (無因次)

Bi=hL_c/k；內部導熱阻抗與表面對流阻抗的比值。

集中容量

一種理想化處理，將整個物體視為單一均勻溫度節點，當 Bi<0.1 時有效。

Biot與Nusselt：兩者具有 hL/k 的形式，但使用不同的 k。Biot數使用固體的熱導率，衡量內部與表面阻抗。Nusselt數使用流體的熱導率，衡量流體中的對流與導熱，所以相同的 h 與 L 會產生非常不同的數值。