📐 Bisection Method Root Finder 計算機

二分法是求解連續函數 f(x) 之根（也就是讓 f(x) = 0 的 x 值）最古老、也最穩定可靠的方法之一。它的做法是：先找出一個函數會變號的區間 [a, b]，接著不斷把區間對半切開，並保留仍然包圍著根的那一半。由於每一步都保有變號的特性，只要 f 為連續函數，且 f(a) 與 f(b) 異號，二分法保證會收斂。本計算機適用於任何無因次的實函數，三角函數一律以弧度（radian）計算。

請在 f(x) 欄位中輸入函數，並以 x 作為變數（例如 x-cos(x)、x^2-2 或 exp(x)-3）。設定下端點 a 與上端點 b，使根落在兩者之間——也就是乘積 f(a)· f(b) 必須小於或等於零。再選擇最大迭代次數 n，以及要顯示的位數。工具會回傳近似的根、該點的函數值（應接近零），以及實際所需的迭代次數。

每一步的估計值都是區間中點 x_n = (a_n + b_n) / 2。

以 f(x) = x - \cos(x) 在區間 [-10, 10] 為例：f(-10) ≈ -10.84（負值），f(10) ≈ 10.84（正值），所以根已被成功包圍。不斷對分後，會收斂到 x ≈ 0.7390851332151607，也就是著名的「Dottie 數」（滿足 x = \cos x 的唯一實數解），此時 f(x) 實質上等於零。

二分法透過重複平分一個已知包含根的區間來尋找 f(x)=0 的根。它依賴於中值定理：如果 f 在 [a,b] 上連續，且 f(a) 和 f(b) 有相反的符號，則根必定位於它們之間。

1. 驗證括號。確認 f(a)· f(b)<0。如果乘積為正，則不能保證區間包含根 — 選擇不同的 [a,b]。
2. 計算中點。m=\dfrac{a+b}{2}。
3. 計算函數值。求 f(m)。如果 f(m)=0（或在容差範圍內），m 就是根，您停止。
4. 根據符號替換端點。如果 f(a)· f(m)<0，根在 [a,m] 中，設 b≤ftarrow m。否則根在 [m,b] 中，設 a≤ftarrow m。
5. 重複步驟 2–4，直到 |b-a|<tol 或 |f(m)|<tol，或直到達到最大迭代次數。

範例：f(x)=x^{3}-x-2 在 [1,2] 上。檢查：f(1)=-2，f(2)=4，乘積 <0 — 括號有效。

經過更多迭代後，區間收斂到真實根 1.521380，這也是三次方程 x^{3}-x-2=0 的唯一實根，可以用1.521380直接求解器找到。

每個二分步驟將區間減半，因此經過 n 次迭代後括號寬度為 (b-a)/2^{ n}。要達到根位置的容差 tol，您需要大約

計數只隨著精度的對數增長，因此即使非常嚴格的容差也只需相對較少的步驟。下表顯示了幾種組合的四捨五入迭代次數。

例如，寬度為 20 的括號精煉至 10^{-6} 需要 \lceil\log_2(20/10^{-6})\rceil=\lceil 24.25\rceil= 25 次迭代，寬度為 1 的括號精煉至 10^{-10} 需要 \lceil 33.22\rceil= 34 次。將起始寬度減半恰好節省一次迭代；將精度平方（多一位十進制小數位）約耗費 3.3 次迭代。

• 根。函數為零的值 x^{*}，即 f(x^{*})=0；也稱為零點或方程的解。
• 括號 / 區間 [a,b]。被認為包含根的一對端點。對於二分法，它必須滿足符號改變條件。
• 符號改變。條件 f(a)· f(b)<0，意味著 f 在端點處有相反的符號。對於連續的 f，這保證了至少有一個根在其間（中值定理）。
• 中點。當前區間的中心，m=(a+b)/2；每一步測試該點並舍棄不可能包含根的一半。
• 容差。停止迭代的精度目標，應用於區間寬度 |b-a| 或殘差 |f(m)|。
• 收斂（線性）。二分法進行線性收斂：每步誤差大約減半（誤差 ≤ (b-a)/2^{n}），給出穩定但不加速的進展 — 每次迭代約多一位正確的二進制數字。
• 迭代。計算中點、計算函數值和更新端點的一個完整週期。迭代次數由最大迭代次數設定限制。