什麼是中央極限定理？
中央極限定理（Central Limit Theorem，簡稱 CLT）是統計學的基石之一。它指出：當你從任何一個平均數為 \mu、標準差為 \sigma 的母體中，反覆抽取大小為 n 的隨機樣本時，隨著 n 越來越大，這些樣本平均數的分布會逐漸趨近常態分布——而且不論原始母體的形狀如何都成立。這個計算器會幫你算出該抽樣分布的兩個關鍵參數：它的平均數與標準誤。
如何使用這個計算器
輸入母體平均數（\mu）、母體標準差（\sigma），以及你的樣本數（n）。工具會回傳抽樣分布的平均數（其值等於 \mu）、平均數的標準誤（SE），以及樣本平均數的變異數（\sigma^2/n）。一個常用的經驗法則是：當 n ≥ 30 時，常態近似就相當可靠。
公式解析
中央極限定理告訴我們關於樣本平均數抽樣分布的兩件事。第一，它的中心與母體一致：
第二，隨著樣本越大，它的離散程度就越小：
由於除以 √(n) 會降低變異性，因此樣本越大，對真實平均數的估計就越精準。樣本平均數的變異數，正好就是標準誤的平方，也就是 \sigma^2/n。
實例演算
假設某母體的 \mu = 100、\sigma = 15，而你抽取樣本數 n = 36。那麼 \mu_{\bar{x}} = 100，且
樣本平均數的變異數為
換句話說，這些樣本平均數會緊密地集中在 100 附近，標準誤僅為 2.5。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。