這個計算機能做什麼
在平面上給定三個點，只要這三點不在同一條直線上，就恰好有「唯一一個」圓會通過它們。本工具會幫你求出這個唯一的圓，並回傳圓心 (h, k)、半徑 r、標準式 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，以及圓的面積與周長。
使用方法
依序輸入三個點的 x 與 y 座標，按下「計算」。結果會顯示完整的圓方程式，並以表格列出圓心座標、半徑、面積與周長。若三點剛好共線（落在同一直線上），計算機會提示你「不存在唯一的圓」。
公式原理
圓上每一點都滿足 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。將任兩式相減，可消去平方項，得到兩條關於 h 與 k 的一次方程式——從幾何角度看，這正是兩條弦的「垂直平分線」，而它們的交點就是圓心。令每個點的 S = x^2 + y^2，並計算行列式
D = 2≤ft[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right]
即可直接求得圓心。若 D = 0，代表三點共線。求出圓心後，半徑就是圓心到任一點的距離。(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
where ≤ft{ \begin{aligned} D &= 2≤ft[ x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right] \\ h &= ((S_1(y_2-y_3) + S_2(y_3-y_1) + S_3(y_1-y_2)) ÷ (D)) \\ k &= ((S_1(x_3-x_2) + S_2(x_1-x_3) + S_3(x_2-x_1)) ÷ (D)) \\ r &= √((x_1-h)^2 + (y_1-k)^2) \end{aligned} \right.
實例演練
取三點 (0,0)、(4,0) 與 (0,4)。由對稱性可知圓心為 (2,2)。半徑為
√((0-2)^2 + (0-2)^2) = √(8) ≈ 2.828
因此圓方程式為 (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8，面積約 25.13，周長約 17.77。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
如果我的三點在同一直線上會怎樣？
那就沒有唯一的圓能通過它們——此時兩條垂直平分線互相平行（\(D = 0\)），工具會顯示警告訊息。
可以輸入負數或小數座標嗎？
可以。任何實數座標都適用，包含負數與小數。
為什麼圓心有時會落在三角形外面？
這個圓的圓心其實就是三角形的「外心」。當三角形為鈍角三角形時，外心會落在三角形外側——這是正常現象。