這個計算器能做什麼
擲硬幣機率計算器能告訴你：在固定次數的擲硬幣中，出現特定正面次數的機率有多高。它採用二項分布（binomial distribution），可用來描述任何一連串獨立的「是／否」試驗。最經典的情境是公正硬幣（p = 0.5），不過本工具也支援偏差硬幣——你可以將正面出現的機率設定為 0 到 1 之間的任意數值。
使用方法
只要輸入三個數值：擲硬幣次數 n、你想要的正面次數 k，以及單次擲出正面的機率 p。計算器會回傳剛好出現 k 次正面的精確機率、可達成的組合數 C(n,k)、最多 k 次與至少 k 次正面的累積機率，以及正面次數的期望值（n · p）。
公式解析
二項分布公式為
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{ k} ≤ft(1 - p\right)^{n - k}
其中 C(n,k) 代表能湊出剛好 k 次正面的不同排列方式有幾種；p^k 是這 k 次都出現正面的機率；(1-p)^{n-k} 則是其餘每一次都擲出反面的機率。三者相乘，就得到某一特定正面次數的機率。
實例演算
以 10 次公正擲硬幣、k = 5、p = 0.5 為例：C(10,5) = 252、p^5 = 0.03125、(1-p)^5 = 0.03125。因此
P = 252 × 0.03125 × 0.03125 ≈ 0.2461
約為 24.61%。即使 5 次正面是最可能出現的結果，發生機率仍不到四分之一。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
什麼是公正硬幣？
公正硬幣的 \(p = 0.5\)，代表每一次擲出正面與反面的機率相同。
可以模擬偏差硬幣嗎？
可以——只要把 p 設為實際的正面機率即可，例如某枚硬幣有 60% 機率出現正面，就設定為 0.6。
「至少 k 次正面」是什麼意思？
這是指出現 k 次或更多次正面的累積機率，作法是將 k、k+1、…、n 各自的精確機率加總起來。