什麼是第一類完全橢圓積分？
第一類完全橢圓積分記作 K(k)，是一個經典的特殊函數，定義為被積函數 dθ / \sqrt{1 - k^{2}·\sin^{2}θ} 從 0 積分到 π/2 的結果。每當你需要計算單擺的精確（大擺幅）週期、利用紐曼公式（Neumann's formula）求同軸線圈的互感、各種弧長，或橢圓形裂紋周圍的應力場時，它都會登場。本計算器會回傳給定橢圓模數 k 所對應的 K(k) 實數值。
慣例說明：用模數 k，而非參數 m
業界常見兩種慣例。本工具直接採用模數 k，因此對應的參數為 m = k^{2}。也就是說，本站的 K(k) 等同於 MATLAB 的 ellipke(m)，其中 m = k^{2}。舉例來說，MATLAB 的 ellipke(0.5) 在這裡相當於輸入 k = √(0.5) ≈ 0.7071。在比對數值之前，請務必確認你參考的資料採用的是哪一種慣例。
使用方法
在 -1 ≤ k ≤ 1 的範圍內輸入橢圓模數 k，即可讀取 K(k)。由於 K 對 k 為偶函數，正負號並不影響結果（K(-k) = K(k)）；本工具內部會自動取絕對值。當 |k| < 1 時函數為有限值；當 |k| 趨近 1 時，則以對數方式發散。
公式與計算方法
我們採用算術幾何平均法：
從 a = 1 與 b = \sqrt{1 - k^{2}}（即互補模數）出發，反覆以兩者的算術平均與幾何平均取代它們，直到兩數收斂相等為止。AGM 為二次收斂，因此大約十多次迭代即可達到雙精度的完整精度。
實例演算
以 k = 0.1 為例：m = 0.01，互補模數為 √(0.99) ≈ 0.994987。1 與 0.994987 的 AGM 收斂至約 0.9974921。於是
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。