什麼是餘弦相似度？
餘弦相似度是透過「兩個向量之間的夾角」而非長度大小，來衡量兩者的相似程度。其結果介於 −1 與 1 之間：值為 1 代表兩向量方向完全相同，0 代表彼此正交（毫無關聯），−1 則代表方向完全相反。這項指標廣泛應用於文字探勘、推薦系統、資訊檢索與機器學習，常用來比較文件、嵌入向量（embeddings）或特徵向量之間的相似度。
如何使用本計算器
請將向量 A 與向量 B 的各個分量，以逗號分隔的數字輸入。兩個向量的維度必須相同（若維度不一致，計算器會以較短的長度為準）。按下計算後，即可看到餘弦相似度、內積、各向量的長度（範數），以及兩向量之間以「度」表示的夾角。
公式解析
餘弦相似度等於兩向量的內積，除以兩者歐幾里得範數（長度）的乘積：
內積 \vec{A} · \vec{B} 是各對應元素相乘後再加總；範數 \lVert \vec{A} \rVert 則是各分量平方和的平方根。除以兩者的長度可使結果標準化，因此最後只取決於方向，而與向量長短無關。
實際範例
假設 A = [1, 2, 3]、B = [4, 5, 6]。內積為 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32。A 的長度為 √(1+4+9) = √(14) ≈ 3.7417，B 的長度為 √(16+25+36) = √(77) ≈ 8.7750。因此 \cosθ = 32 / (3.7417 × 8.7750) ≈ 32 / 32.8329 ≈ 0.9746，換算後的夾角約為 12.93°。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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