📐 Cube Root 計算機

立方根計算器會求出你所輸入任何數字的真實立方根，數學上寫作 ∛x。所謂一個數的立方根，就是把它自己連乘三次後會等於原數的那個值。舉例來說，27 的立方根是 3，因為 3 × 3 × 3 = 27。

和平方根不同，立方根對負數同樣適用。每一個實數都恰好只有一個實數立方根，因此這個工具永遠會回傳一個明確、唯一的答案。

• 輸入一個數字——在唯一的輸入欄位中鍵入任何數值，可以是整數、小數或負數。
• 計算器會立即算出並顯示該數值的真實立方根。

整個工具只需要這一個輸入值，沒有額外的設定、單位或四捨五入選項需要調整。

計算依據的是標準的立方根表示式：

∛x

在背後運作時，計算器會把你的輸入讀取為小數，再套用數學上的立方根函式（相當於 Math.cbrt(x)）。這個方法能正確處理負數，回傳負的立方根，所以 ∛(−8) 會得到 −2，而不是出現錯誤。

假設你輸入的數字是 64，計算器會算出：

• 輸入數字：64
• 立方根：∛64 = 4（因為 4 × 4 × 4 = 64）

接著試一個非完全立方數，例如 20。計算器會回傳約 2.7144，因為 2.7144 × 2.7144 × 2.7144 ≈ 20。若輸入負數，例如 −27，結果則是 −3。

數字 x 的立方根，記作 \sqrt[3]{x}，是當該值乘以自己三次時得到 x 的值。例如，\sqrt[3]{27} = 3，因為 3 × 3 × 3 = 27。下表列出了 1 至 1000 的完全立方數（具有整數立方根），以及幾個常見的非完全立方數，其立方根是無理數，四捨五入到小數點後四位。

與平方根不同，立方根對負數也有定義：因為負數乘以負數再乘以負數等於負數，\sqrt[3]{-27} = -3。一般來說，\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}。

您可以使用完全立方數作為參考點來估計任何立方根，無需計算機，然後用牛頓法的簡短迭代來精煉猜測。下面的步驟以 \sqrt[3]{50} 作為實例進行計算。

1. 將數字夾在兩個完全立方數之間。由於 27 = 3^3 且 64 = 4^3，並且 27 < 50 < 64，答案介於 3 和 4 之間。
2. 做初步估計。50 略微超過從 27 到 64 的中點，所以合理的首次猜測是 x_0 = 3.7。
3. 用牛頓法精煉。對於 \sqrt[3]{N}，更新規則是
   x_{n+1} = (( {2x_n + \dfrac{N}{x_n^2}}) ÷ (3))
   。當 N = 50 且 x_0 = 3.7 時：
   x_1 = (( {2(3.7) + \dfrac{50}{3.7^2}}) ÷ (3)) = (( {7.4 + 3.6523}) ÷ (3)) = ((11.0523) ÷ (3)) = 3.6841
   。
4. 再迭代一次以提高精度。將 x_1 = 3.6841 代入公式得
   x_2 = (( {2(3.6841) + \dfrac{50}{3.6841^2}}) ÷ (3)) ≈ (( {7.3682 + 3.6837}) ÷ (3)) ≈ 3.6840
   。估計值已經穩定，所以 \sqrt[3]{50} ≈ 3.6840。
5. 透過立方結果驗證。檢查 3.6840^3 = 3.6840 × 3.6840 × 3.6840 ≈ 49.998，四捨五入到 50 — 確認答案 3.6840。

提示：每次牛頓迭代大約將正確數字位數增加三倍，所以從合理的起始猜測進行兩次計算通常足以達到小數點後四位的精度。使用夾括法進行更接近真實值的起點，可以減少所需的迭代次數。

• 平方根計算機——算出 √x。
• N 次方根計算機——平方根、立方根計算。
• 指數計算機——次方計算工具。