定積分計算機能做什麼
這個工具可計算定積分 \int_a^b f(x) dx，也就是曲線與 x 軸之間在某區間內的有號面積。由於並非每個函數都有簡潔的反導函數（不定積分），本計算機採用穩定可靠的數值方法（複合辛普森法，Composite Simpson Rule），對於平滑函數能提供相當精確的結果。只要選定內建函數、設定積分下限與上限、決定要切成多少個子區間，就能讀出面積。
使用方式
先從清單中挑選一個函數 f(x)，輸入下限 a 與上限 b，再設定子區間數量 n（子區間越多，結果越精確；由於辛普森法要求 n 必須為偶數，工具會自動將 n 向上進位至最接近的偶數）。送出後即可得到積分的近似值以及所使用的步長。
計算公式
複合辛普森法將區間 [a,b] 分成 n 等份，每份寬度為 h=\tfrac{b-a}{n}，並對取樣點依序給予 1、4、2、4、…、4、1 的權重：
其中 x_i = a + i h，h=((b-a) ÷ (n))，且 n 為偶數。
實際範例
計算 \int_0^2 x^2 dx，取 n=2。此時 h=((2-0) ÷ (2))=1，取樣點為 x_0=0, x_1=1, x_2=2：
這個結果與精確答案 \tfrac{8}{3} 完全吻合——辛普森法對於三次（含）以下的多項式都能得出精確值。
支持函數的精確積分
計算器以數值方式逼近每個積分，但每個支持的函數都有一個已知的閉式反導函數 F(x) 滿足 F'(x)=f(x)。根據微積分基本定理，精確值為 \int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)。使用下表檢查數值答案或了解函數在何處未定義。
| 菜單值 | f(x) | 反導函數 F(x) | 定義域限制 |
|---|---|---|---|
| x2 | x^2 | \dfrac{x^3}{3} | 所有實數 x |
| x3 | x^3 | \dfrac{x^4}{4} | 所有實數 x |
| inv | \dfrac{1}{x} | \ln|x| | x≠ 0；區間不得越過或接觸 0 |
| sqrt | √(x) | \dfrac{2}{3}x^{3/2} | x≥ 0 |
| exp | e^{x} | e^{x} | 所有實數 x |
| ln | \ln x | x\ln x - x | x>0 |
| sin | \sin x | -\cos x | 所有實數 x（弧度） |
| cos | \cos x | \sin x | 所有實數 x（弧度） |
作為已驗證的例子，\int_0^1 x^2 dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = 0.3333。因為 x^2 是 2 次多項式，辛普森法則即使在最小 n=2 時也能精確返回此值。
關鍵術語
- 定積分 — 量 \int_a^b f(x) dx，一個單一的數字，給出 f 在極限 a 和 b 之間的淨（帶符號）累積。
- 帶符號面積 — 積分的值將 x 軸上方的面積計為正，下方的面積計為負，因此各區域可能相互抵消；結果不一定是總幾何面積。
- 子區間 — [a,b] 被分成 n 個相等的片段之一；辛普森法則在每對連續子區間上擬合一條拋物線。
- 步長 h — 每個子區間的公共寬度，h=\dfrac{b-a}{n}；較小的 h 通常會給出更精確的逼近。
- 樣本點 x_i — n+1 個均勻間隔的節點 x_i = a + i h（其中 i = 0,1,\ldots,n），函數在這些點進行求值。
- 偶數 n 的要求 — 辛普森法則將子區間配對成拋物線弧，因此子區間數 n 必須為偶數；權重模式為 1,4,2,4,2,\ldots,4,1。
- 反導函數 — 一個函數 F(x) 滿足 F'(x)=f(x)；當已知一個反導函數時，精確積分為 F(b)-F(a)，這是數值估計所逼近的值。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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