什麼是微分方程計算器？
微分方程（Differentialgleichung）描述一個函數與其自身變化率之間的關係。本計算器專注於最經典的一階線性方程 ((dy) ÷ (dx)) = k y，它可用來描述物理、生物、財務與工程領域中的指數成長與衰減。計算器會同時給出精確解與數值近似，讓你能將理論與實際計算結果互相對照。
公式解析
在初始條件 y(x_0) = y_0 之下，此方程具有以下的封閉解，其中 y_0 為起始值，k 為變化率常數，x 則是目標點。
當難以求得封閉解時，尤拉法（Euler method）會以微小的步長 h = ((x - x_0) ÷ (n)) 逐步向前推進，公式為 y_{i+1} = y_i + h k y_i。步長越小（即 n 越大），近似誤差就越低。
使用方法
輸入初始值 y_0、變化率常數 k、起點 x_0、目標點 x，以及尤拉法的步數 n。計算器會回報精確值、尤拉法估計值、步長，以及兩者之間的絕對誤差。
範例演練
假設 y_0 = 1、k = 1、x_0 = 0、x = 1，並使用一個尤拉步。其精確答案為
單一尤拉步得到 y_1 = 1 + 1× 1× 1 = 2，因此絕對誤差約為 0.718。使用更多步數，估計值就會逐漸逼近 e。
Thêm các ví dụ có lời giải
Tất cả các ví dụ dưới đây đều sử dụng phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất ((dy) ÷ (dx)) = k y. Nghiệm chính xác dạng đóng của nó là y(x) = y_0 e^{k(x - x_0)}, và phép xấp xỉ Euler hiện (tiến) sử dụng bước cố định h = ((x - x_0) ÷ (n)) với quy tắc cập nhật y_{i+1} = y_i + h k y_i. Đây là các kết quả toán học tổng quát, không gắn với bất kỳ quốc gia hay tiêu chuẩn nào.
Ví dụ 1 — Phân rã theo hàm mũ (chính xác)
Dữ liệu vào: y_0 = 100, k = -0.5, x_0 = 0, x = 2. Vì k<0 nên đại lượng phân rã. Thay vào nghiệm chính xác:
Vậy giá trị chính xác là 36.7879.
Ví dụ 2 — Phương pháp Euler, tăng trưởng, n = 4
Dữ liệu vào: y_0 = 100, k = 0.5, x_0 = 0, x = 2, n = 4. Bước h = ((2 - 0) ÷ (4)) = 0.5. Mỗi lần lặp nhân với (1 + hk) = (1 + 0.5 · 0.5) = 1.25:
- y_1 = 100 + 0.5 · 0.5 · 100 = 100 + 25 = 125
- y_2 = 125 + 0.5 · 0.5 · 125 = 125 + 31.25 = 156.25
- y_3 = 156.25 + 0.5 · 0.5 · 156.25 = 156.25 + 39.0625 = 195.3125
- y_4 = 195.3125 + 0.5 · 0.5 · 195.3125 = 195.3125 + 48.828125 = 244.140625
| Bước i | x_i | y_i (Euler) |
|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 100.000000 |
| 1 | 0.5 | 125.000000 |
| 2 | 1.0 | 156.250000 |
| 3 | 1.5 | 195.312500 |
| 4 | 2.0 | 244.140625 |
Giá trị chính xác: y(2) = 100 e^{0.5 · 2} = 100 e^{1} ≈ 271.8282. Sai số tuyệt đối: |271.8282 - 244.1406| ≈ 27.6876. Phương pháp Euler tiến ước lượng thấp hơn đối với đường cong tăng trưởng lồi, nên cần n lớn hơn để thu hẹp khoảng cách này.
Ví dụ 3 — Phương pháp Euler, phân rã, n = 4
Dữ liệu vào: y_0 = 100, k = -0.5, x_0 = 0, x = 2, n = 4. Bước h = 0.5; mỗi lần lặp nhân với (1 + hk) = (1 + 0.5 · (-0.5)) = 0.75:
- y_1 = 100 + 0.5 · (-0.5) · 100 = 100 - 25 = 75
- y_2 = 75 + 0.5 · (-0.5) · 75 = 75 - 18.75 = 56.25
- y_3 = 56.25 - 14.0625 = 42.1875
- y_4 = 42.1875 - 10.546875 = 31.640625
Giá trị chính xác (từ Ví dụ 1): y(2) ≈ 36.7879. Sai số tuyệt đối: |36.7879 - 31.6406| ≈ 5.1473. Sai số nhỏ hơn nhiều so với trường hợp tăng trưởng vì đường cong phân rã, lõm, dễ theo dõi hơn đối với phương pháp Euler ở cùng một kích thước bước.
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。