什麼是圓的方程式？
圓是平面上所有與固定圓心 (h, k) 距離皆相等的點所構成的圖形，這個固定距離就是半徑 r。只要輸入圓心座標與半徑，本計算器就能同時產生圓方程式的標準式與一般式，並一併算出直徑、周長與面積。
如何使用本計算器
依序填入圓心的 x 座標 (h)、圓心的 y 座標 (k) 以及半徑 (r)，按下計算，即可看到標準式方程式、展開後的一般式，以及各項重要數據。若半徑為 0，圖形會退化成一個點，因此要畫出真正的圓，請輸入正值。
公式解析
標準式直接源自距離公式：任意一點 (x, y) 到圓心 (h, k) 的距離等於 r，也就是 √((x-h)^2 + (y-k)^2) = r。將兩邊平方後，即得到
≤ft(x - h\right)^2 + ≤ft(y - k\right)^2 = r^2
再把平方項展開，就會得到一般式 x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
其中 D = -2h、E = -2k、F = h^2 + k^2 - r^2。
實例演算
假設圓心為 (3, -2)、半徑為 5。由於 r^2 = 25，標準式即為
≤ft(x - 3\right)^2 + ≤ft(y + 2\right)^2 = 25
換算成一般式：D = -6、E = 4、F = 3^2 + (-2)^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12，因此方程式為 x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
此圓的直徑為 10，周長為 2π · 5 ≈ 31.42，面積為 π · 25 ≈ 78.54。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
如果圓心在原點呢？
當 \((h, k) = (0, 0)\) 時，方程式會簡化為 \(x^2 + y^2 = r^2\)。
如何從一般式反求圓心與半徑？
利用配方法即可：\(h = -D/2\)、\(k = -E/2\)，半徑 \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\)。
半徑可以是負數嗎？
不行。半徑代表距離，因此計算器會自動取其絕對值。