什麼是歐拉函數？
歐拉函數記作 \varphi(n)，用來計算在 1 到 n 之間，有多少個正整數和 n 的最大公因數為 1，也就是與 n 互質的整數個數。舉例來說，\varphi(9) = 6，因為 1、2、4、5、7、8 這六個數都與 9 互質。歐拉函數是數論中的核心概念，也廣泛應用於密碼學領域；其中最著名的就是 RSA 演算法——\varphi(n) 決定了產生金鑰時所需的模反元素。
如何使用本計算機
輸入任一正整數 n，再按下計算即可。本工具會將 n 分解為各個相異質因數，並套用乘積公式，瞬間算出 \varphi(n)，同時列出找到的所有相異質數。無論是小數字還是高達十億的大數字都能輕鬆處理。
公式詳解
計算歐拉函數最有效率的方式是使用乘積公式：
\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} ≤ft(1 - ((1) ÷ (p))\right)
其中乘積取遍所有整除 n 的相異質數 p。
你只需要用到相異的質數，不必管它出現幾次。每一個 ≤ft(1 - ((1) ÷ (p))\right) 因子都會剔除掉能被該質數整除的那一部分數字。
計算範例
以 n = 36 為例，它的質因數分解為 2^2 × 3^2，因此相異質數為 2 和 3。於是：
\varphi(36) = 36 × ≤ft(1 - ((1) ÷ (2))\right) × ≤ft(1 - ((1) ÷ (3))\right) = 36 × ((1) ÷ (2)) × ((2) ÷ (3)) = 36 × ((1) ÷ (3)) = 12
所以在 1 到 36 之間，恰好有 12 個整數與 36 互質。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
\(\varphi(1)\) 等於多少？
依照慣例，\(\varphi(1) = 1\)，因為 1 與自己互質。
質數 p 的歐拉函數是多少？
對任何質數 \(p\) 而言，\(\varphi(p) = p - 1\)，因為從 1 到 \(p-1\) 的每一個整數都與 \(p\) 互質。
歐拉函數具有積性嗎？
是的。若 \(\gcd(a, b) = 1\)，則 \(\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)；這正是為什麼可以用相異質數的乘積來計算的原因。