這個計算器的功能
本工具會針對輸入值 x 計算四種相關數值：階乘 x!、雙階乘 x!!，以及兩者的自然對數 ln(x!) 與 ln(x!!)。只要從「函數」下拉選單挑選想計算的項目，輸入 x 值，就能讀取結果。由於這純粹是數學運算，沒有單位，也不需要任何換算。
使用方式
先選擇一個函數（x!、ln(x!)、x!! 或 ln(x!!)），在變數 x 欄位輸入數值後送出即可。當 x 為整數時，x! 與 x!! 會遵循傳統的組合定義。此外，引擎也接受實數（非整數）：它採用 Gamma 函數，因此舉例來說，0.5! = √(π)/2。負整數則是 Gamma 函數的極點，階乘在此無定義。
公式解析
階乘透過 x! = \Gamma(x+1)（即 Gamma 函數）擴充到實數範圍。雙階乘則是每隔一項相乘：偶數 n 為 n·(n-2)··s· 2，奇數 n 為 n·(n-2)··s· 1，並以 0!! = 1 與 (-1)!! = 1 作為基底情形。下列封閉形式可涵蓋所有實數 x：
x!! = 2^{((x) ÷ (2))+((1-\cosπ x) ÷ (4))} π^{((\cosπ x - 1) ÷ (4))} \Gamma\!≤ft(\tfrac{x}{2}+1\right)
遇到非常大的引數時，計算器會在對數空間中以 log-gamma 運算，因此永遠不會溢位：\ln(x!) = lgamma(x+1)
範例演算
將「函數」設為 x!!、x = 6。6 的雙階乘為
6· 4· 2 = 48
切換到 ln(x!!) 則會得到 \ln(48) ≈ 3.8712010109。同樣地，x = 5 搭配 x! 為 1· 2· 3· 4· 5 = 120
而 5 的 ln(x!) 即 \ln(120) ≈ 4.7874917428。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼要提供對數版本？
階乘成長極為快速，在 \(x \approx 1.7\times 10^{308}\) 附近就會讓一般浮點數溢位。對數輸出讓你能精確處理天文等級的超大引數。
x 可以是小數嗎？
可以。非整數的 x 會採用 Gamma 函數的廣義定義，能在整數值之間做出平滑的內插。
那負數的 x 呢？
負的非整數是允許的（透過 Gamma 函數計算），但負整數是極點，階乘與雙階乘在此無定義。