什麼是哈雷法？
哈雷法（Halley's method）是一種用來求解 f(x) = 0 這類方程式的迭代數值方法。它可視為牛頓—拉夫森法（Newton-Raphson）的三階（立方收斂）親戚：牛頓法只用到函數本身與一階導數，哈雷法則額外引入二階導數，因此通常能在較少的迭代次數內達到相同的精度。這是一個通用的數學／數值分析工具，適用於任何情境；三角函數內的角度一律以弧度（radian）計算。
使用方式
先在 f(x) 欄位輸入要求根的函數，接著分別以 x 的運算式填入一階導數 f'(x) 與二階導數 f''(x)。支援的語法包括 +、-、*、/、次方符號 ^、括號，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、log/ln、log10、sqrt、abs 等函數，另有常數 pi 與 e。請挑選一個接近目標根的初始猜測值 x_0，設定最大迭代次數 n，並選擇要顯示的有效位數。
公式說明
每一步迭代計算
x_{n+1} = x_n - ((2 f(x_n) f^{\prime}(x_n)) ÷ (2 [f^{\prime}(x_n)]^2 - f(x_n) f^{\prime\prime}(x_n)))
分子是經過縮放的標準牛頓修正項，而分母中多出的 -f(x_n) f^{\prime\prime}(x_n) 一項則修正了 f 的曲率，藉此加速收斂。當 x 的變化量或殘差 f(x) 降到極小的容許誤差以下，或達到迭代上限時，迴圈便會停止。若分母變為零，方法將失效，此時請改用不同的 x_0。
實例演算
以 f(x) = x - \cos(x)，f'(x) = 1 + \sin(x)，f''(x) = \cos(x)，從 x_0 = 1 開始：第一步得到
x_1 = 1 - ((2 × 0.4596977 × 1.8414710) ÷ (2 × 1.8414710^2 - 0.4596977 × 0.5403023)) = 1 - ((1.6930504) ÷ (6.5336550)) = 0.7408769
迭代很快便收斂到道蒂數（Dottie number）x = 0.7390851332151607，也就是 x = \cos(x) 的唯一解。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
哈雷法和牛頓法有什麼不同？
牛頓法忽略曲率；哈雷法加入了二階導數項，將收斂從二階提升到三階（立方），通常每多算出一位正確數字所需的迭代次數更少。
為什麼必須輸入導數？
本計算器會直接採用你提供的導數。若導數有誤，收斂會變差甚至失敗。請仔細對 \(f(x)\) 微分，求出正確的 \(f'(x)\) 與 \(f''(x)\)。
如果無法收斂怎麼辦？
本方法會找出最接近 \(x_0\) 的根。起始點選得不好可能會發散，或收斂到另一個根；而分母趨近於零則會讓迭代完全中止。此時請更換 \(x_0\)，或檢查你的導數運算式。