這個計算器能做什麼
本工具會針對單一固定階數 n，逐一計算物理學家慣例的埃爾米特多項式 H_n(x) 在一連串 x 值上的結果，並輸出 (x, H_n(x)) 數值表，同時繪製出曲線。埃爾米特多項式在量子力學（諧振子的能量本徵態）、機率論，以及數值分析（高斯—埃爾米特積分）中都廣泛出現。
使用方式
請輸入多項式的階數 n（非負整數，例如 0、1、2、3……）、x 的起始值、遞增量（相鄰兩個 x 值之間的間距），以及產生筆數（要計算多少列）。第 i 個 x 值為 x_i = 起始值 + i · 間距，其中 i 從 0 到 筆數 - 1。遞增量為負值會產生遞減的數值表；遞增量為 0 則會重複出現同一個 x。
公式說明
這裡採用的是物理學家慣例的埃爾米特多項式，滿足微分方程 y'' - 2x · y' + 2n · y = 0，並由母函數 \exp(2xt - t^2) 產生。我們使用數值穩定的三項遞迴關係來計算：
H_0(x) = 1, H_1(x) = 2x, H_{k+1}(x) = 2x · H_k(x) - 2k · H_{k-1}(x)
可避免階乘造成的數值溢位。請注意，這並非機率學家慣例的 He_n(x)，後者的遞迴式為 He_{k+1} = x · He_k - k · He_{k-1}。
實際範例
以 n = 3 為例，由遞迴式可得 H_2(x) = 4x^2 - 2、H_3(x) = 8x^3 - 12x。當 x = -2.5 時：
8(-15.625) + 30 = -95
當 x = 0 時為 0；當 x = 2.5 時為 +95。若設定起始值 = -2.5、間距 = 0.1、筆數 = 51，數值表將從 (-2.5, -95) 經過 (0, 0)，一路延伸到 (2.5, 95)，描繪出一條具奇對稱性、形似三次曲線的圖形。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
採用哪一種慣例？
採用物理學家慣例 \(H_n\)，其中 \(H_1(x) = 2x\)。前幾項為：\(H_0=1\)、\(H_1=2x\)、\(H_2=4x^2-2\)、\(H_4=16x^4-48x^2+12\)、\(H_5=32x^5-160x^3+120x\)。
如果 \(n = 0\) 會怎樣？
對任意 \(x\)，\(H_0(x)\) 都等於 1，因此數值表與圖形會是一條高度為 1 的水平線。
為什麼 \(n\) 很大時數值會暴增？
當階數與 \(|x|\) 增大時，埃爾米特多項式的成長速度極快；雙精度浮點數在約 \(1\text{e}308\) 以上便會溢位。建議將 \(n\) 與 \(x\) 的範圍控制在合理區間，才能畫出有意義的圖形。