📐 Hyperbolic Tangent 計算機

只要輸入一個數字 x，這個計算機就會立刻算出它的雙曲正切 tanh(x)。為了讓你看得更完整，它同時會計算另外兩個相關的雙曲函數——sinh(x)（雙曲正弦）與 cosh(x)（雙曲餘弦），並列出背後的指數基礎值 e^x 與 e^−x。無論是檢查作業、驗證微積分與三角學的計算結果，還是處理物理與工程中的懸鏈線、狹義相對論，以及神經網路的激活函數，都相當好用。

• 數字（x）：輸入任意實數——正數、負數、小數或零都可以。
• 計算機會回傳 tanh(x)、sinh(x) 與 cosh(x)，再加上 e^x 與 e^−x，讓你清楚看到每個數值是怎麼組合出來的。

x 是一個沒有單位的純數，並不是以「度」為單位的角度，所以完全不必切換單位。

這三個函數都直接由指數函數定義：

• sinh(x) = (e^x − e^−x) / 2
• cosh(x) = (e^x + e^−x) / 2
• tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x − e^−x) / (e^x + e^−x)

本計算機的運算方式，與電腦數學函式庫（Math.tanh、Math.sinh、Math.cosh）完全一致。tanh 的輸出永遠嚴格介於 −1 與 1 之間，當 x 往兩個方向變大時，數值會越來越接近這兩個極限。

假設你輸入 x = 1，計算機會先求出指數值：

• e¹ ≈ 2.71828
• e⁻¹ ≈ 0.36788

接著：

• sinh(1) = (2.71828 − 0.36788) / 2 ≈ 1.17520
• cosh(1) = (2.71828 + 0.36788) / 2 ≈ 1.54308
• tanh(1) = 1.17520 / 1.54308 ≈ 0.76159

三個基本雙曲函數由實數參數 x 的指數函數定義：

下表列出四捨五入到六位小數的值。這些是純粹的數學常數 — 它們不依賴於任何國家、單位制或標準。

對稱性：哪些函數是奇函數，哪個是偶函數

查看表中向下的 ± 對直接顯示對稱性。\sinh 和 \tanh 是奇函數，而 \cosh 是偶函數：

因此，負輸入會翻轉 sinh 和 tanh 的符號，但 cosh 保持不變 — 例如 \sinh(-1.5)=-2.129279 而 \cosh(-1.5)=\cosh(1.5)=2.352410。這也意味著你只需要正參數的表。

tanh 的飽和

與 \sinh 和 \cosh（大致上像 e^{x}/2 那樣無限增長）不同，正切被擠在水平漸近線 y=-1 和 y=+1 之間。這種接近呈指數級快速進行：

• \tanh(3)≈ 0.99505 — 已經與 1 的誤差不超過 0.5%
• \tanh(5)≈ 0.99991 — 與 1 的誤差不超過 0.01%
• \tanh(10)≈ 1.000000 — 它與 1 的差異僅約 4.1×10^{-9}，因此一旦 |x| 超過約 20，大多數計算器和雙精度軟體就會顯示 1.0

間隙的閉合方式類似 1-\tanh(x)≈ 2e^{-2x}，這就是為什麼 x 的每個額外單位將剩餘距離減少約 e^{2}≈ 7.39 倍的原因。這種飽和正是使 tanh 作為有界響應或激活曲線有用的特性。