什麼是無窮等比級數？
無窮等比級數是一連串無止盡相加的項，每一項都是把前一項乘上一個固定倍數而得，這個倍數稱為「公比」（r）：a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots。當公比的絕對值夠小（|r| < 1）時，各項會迅速趨近於零，使整體總和逐漸逼近一個有限的數值。本計算機能立即幫你算出這個極限值。
如何使用本計算機
輸入首項 a 與公比 r，即可直接得到總和。如果 |r| ≥q 1，計算機會提示你該級數「發散」——也就是沒有有限總和，因為各項並不會趨近於零。
公式說明
封閉形式的求和公式為
S = ((a) ÷ (1 - r))
僅在 |r| < 1 時成立。它由有限項的部分和 S_n = ((a(1 - r^n)) ÷ (1 - r)) 推導而來。當 n 無限增大時，只要 |r| < 1，r^n \to 0，於是剩下 S = ((a) ÷ (1 - r))。若 |r| ≥q 1，r^n 並不會趨於零，因此部分和會無限增大或來回擺盪，級數隨之發散。
實際範例
假設 a = 1、r = 0.5。由於 |0.5| < 1，級數會收斂。
S = ((1) ÷ (1 - 0.5)) = ((1) ÷ (0.5)) = 2
因此 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \ldots = 2。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
如果 r 是負數呢？
只要 \(|r| < 1\)，公式依然適用。以 \(a = 3\)、\(r = -0.5\) 為例，$$S = \frac{3}{1 - (-0.5)} = \frac{3}{1.5} = 2$$
級數什麼時候會發散？
只要 \(|r| \geq 1\)（例如 \(r = 2\) 或 \(r = -1\)）就會發散。此時各項永遠不會趨近於零，因此沒有有限的總和。
如果 a = 0 呢？
那麼每一項都是零，總和自然就是 0。