什麼是無窮等比級數？
無窮等比級數的形式為 a + ar + ar^2 + ar^3 + ·s，其中每一項都是前一項乘以一個固定的數值 r（稱為公比），而 a 則是首項。當公比夠小——也就是嚴格落在 -1 與 1 之間時——累加的總和會逐漸趨近於某個有限的數值，而不會無止盡地增大。本計算機所求出的，正是這個極限值，也就是所謂的「無窮和」。這是純粹的數學運算，在世界各地的適用方式完全相同。
如何使用本計算機
請輸入首項 a 與公比 r。兩個欄位都可以填入小數，或是 1/3 這類分數形式的輸入；系統會先將分數換算成小數，再套用公式計算。公比必須滿足 -1 < r < 1；若您輸入的數值大於等於 1（或小於等於 −1），級數將會發散，此時工具會直接提示，而不會回傳數字。
公式說明
其封閉形式為
S_{\infty} = ((a) ÷ (1 - r))
這個公式源自有限項的部分和 S_n = ((a(1 - r^n)) ÷ (1 - r))。當 |r| < 1 時，隨著 n 不斷增大，r^n 會逐漸縮小至 0，於是整個式子就收斂為 ((a) ÷ (1 - r))。在有效範圍內，分母 (1 - r) 永遠不會等於零，因為那需要 r = 1，而這正好被收斂條件排除在外。
實際範例
假設 a = 1、r = 0.3，則
S_{\infty} = ((1) ÷ (1 - 0.3)) = ((1) ÷ (0.7)) ≈ 1.42857142857143
再以 a = 2、r = -0.5 為例（這是一個正負交錯的級數），則 S_{\infty} = ((2) ÷ (1 - (-0.5))) = ((2) ÷ (1.5)) ≈ 1.33333333333333
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼一定要 \(-1 < r < 1\)？
一旦超出這個範圍，各項就不會趨近於零，於是部分和會無限增大（\(r \geq 1\)）或來回擺盪（\(r = -1\)），這時便不存在有限的總和。
首項可以是負數或零嗎？
可以。\(a\) 為負數只會讓總和的正負號反轉；而當 \(a = 0\) 時，只要公比有效，總和都會是 0。
可以輸入分數嗎？
可以——任一欄位都能填入像1/3這樣的數值，計算機會先完成除法運算再進行後續計算。